请教，3年级数学题，不能用方程解

一个长方形，长增加1厘米，宽增加3厘米，成为了一个正方形，面积比原来增加了33厘米，请问原来面积？

1、试算法。假设正方形的大小是10CMx10CM，减下1CM的长条，再减下3CM，看看是不是真正减下33厘米。如果不是，那就根据结果，适量增减？
2、拼凑法。把减下的两张纸条，拼凑成一个长方形，宽度为1厘米，长就是33厘米。剪去一个1X1的小正方形，剩下的正好是整齐的4个长方形，可以分别填入原来的正方形。

给孩子一把安全剪刀，几张废纸，让他玩去吧。

另外，不要给题目加上“不能用”什么方法的限制。窃以为，最好从孩子当前有兴趣以及可能为的方法出发，BBMM和老师则蹲下身形，以孩子的角度看待问题。

一个数除以8所得的商数与这个数除以9所得的余数之和为13。这个数除以8所得的余数是几？

俺给 Alex 写题时搞错了，变成：
一个数除以8所得的商数与这个数除以9所得的余数之和为13。这个数是几？

回复 #2 ccpaging 的帖子

想过用拼凑法，只觉得有点烦。谢谢！看来不能偷懒哦！

回复 #2 ccpaging 的帖子

第一个是好办法，是9×9＝81的正方形，减去增加的长宽8×6＝48
48＋33＝81

回复 #1 夕拾朝花 的帖子

答案：宽 6；长8；  原来的长方形面积为48
计算方法如下：
设长为L，宽为W，
由题意可知 L、W均为整数，并满足L〉W
则1*W+3*L+1*3=33
即 W+3L=30   
当L<=7时，W〉=9，与L>W相矛盾；当L=10时，W=0不满足题意
所以L=8，W=6 或 L=9，W=3 时，可满足W+3L=30
分别将L=8，W=6 或 L=9，W=3 代入题目中，发现 L=9，W=3时分别增加边长1/3cm无法形成正方形；而L=8，W=6 时分别增加边长1/3cm可以形成正方形；
所以 可知 L=8，W=6  原来的长方形面积为48

夕拾朝花 发表于 2011-7-21 10:38
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想过用拼凑法，只觉得有点烦。谢谢！看来不能偷懒哦！

图形拼凑法也是一种家长不累，让孩子自己玩且他们喜欢的方法。



A 是一个1x1的方块，B、C1、C2、C3都是宽1的长方形，且长度一样，共4条。
由此，可得长方形的长度为：
(33 - 1) / 4 = 8
所以正方形的边长是9。

...（算出原来的面积）
...（验证）

回复 #7 马虎之家 的帖子

我没看懂, 为什么 "由题意可知 L、W均为整数?"

回复 #9 aochuanhui 的帖子

因为是三年级的数学题，所以不可能涉及到非整数的。

回复 #4 ccpaging 的帖子

该怎么解?

回复 #11 burninglife 的帖子

8*9 =72, 72+4=76

aochuanhui 发表于 2011-7-22 10:39
回复 #11 burninglife 的帖子

8*9 =72, 72+4=76

问的是4#题的解法。

一个数除以8所得的商数与这个数除以9所得的余数之和为13。这个数除以8所得的余数是几？

一说起除法，你最先想到的是什么？除法算式，乘法的逆运算，乘法算式？其实，除法有自己的现实意义。简单的说，除法有两个含意，平分和一直减。
在这道题里边，我们要用到平分。一个数被9除，这个过程可以用下图表示：
*********   每行9个，行数为（除以9的商）
*********
*********
...
*********
**...*           （除以9的余数）

好吧，现在我们要变化队形，变成每行8个，也就是说要除以8
********   每行8个，行数为（除以8的商）
********
********
...
********
**...*      （除以8的余数）

比较这两个图，看看有什么规律吗？

我不会画图，不知能说明白吗？
多出的33 的面积就是1×正方行边长+3×正方行边长－重叠的部分1×3＝33
那么再加一小块重叠的部分，那么
1×正方行边长+3×正方行边长＝33+3＝36
那么正方形边长为9，那么
长方形边长为
9－1＝8
9－3＝6

回复 #13 ccpaging 的帖子

恕我驽钝, 没看出什么规律, 只知道每行少了一个, 又增加了若干行... 请CC赶快讲讲吧

我看到既要除以8又要除以9, 因此我先找出最小公倍数72, 然后凑答案 76.

回复 #15 aochuanhui 的帖子
原题：
一个数除以8所得的商数与这个数除以9所得的余数之和为13。这个数除以8所得的余数是几？

之所以说这道题“坑爹”，因为爹学过几何，碰到难题，喜欢分析；因为爹学过代数，碰到难题，喜欢代数。恰恰，这道题，分析法和代数法都很麻烦。

形数结合分析法
********   每行8个，行数为（除以8的商）
********
********
...
********
**...*      （除以8的余数）

要改成9人一行，最简单的办法，是把多出来的人排到每行的末尾，于是产生以下几种情况：
1、（除以8的余数） = （除以8的商）
=>（除以9的商）＝（除以8的商），（除以9的余数）＝0
因为（除以8的商）＋（除以9的余数）＝13
所以（除以8的商）＝13
跟假设冲突，（除以8的余数）应在0-7的范围内。

2、（除以8的余数） > （除以8的商）
=>（除以9的商）＝（除以8的商）＋1
这是不可能滴

3、（除以8的余数） < （除以8的商）
要从8人一行变成9人一行，至少要拆掉一行，共8名同学，填入每行的末尾。
共有 8 + （除以8的余数）需要变换位置。如下图：

除以8的商 ＋ 除以9的余数 ＝ 13
故：（除以8的商 - 1)＋ 除以9的余数 ＝ 13 - 1 = 12
也就是说，从8人一列变成9人一列，共有12个人移动了位置。
也就是说，8 + 除以8的余数 ＝ 12
故：除以8的余数是4

代数法
http://wenwen.soso.com/z/q186184632.htm
设除8时商数为n余数为x,除9余数为y商数为k,则：
  总数=8n+x=9k+y
  己知n+y=13 故8*(13-y)+x=9k+y
整理得x=9*(k+y)-104 x是8余数0<x<8故x=4

试算法
在俺反反复复折腾期间。Alex 用试算法，花了不到十分钟，就把符合条件的数，以及除8的余数都算出来了。

坑爹啊！直想找块豆腐碰死算了！不过，看看网上，奥数老师的标准答案都是代数法。想到这，俺决定等奥数老师碰死了，我再考虑要不要找豆腐的事儿。哼，他们还恬着脸，在那儿赚钱呢！

回复 #14 奇怪的球赛 的帖子

太感谢了！我一直想那块重叠的面积为3的小长方形有什么用，原来可以这么算！说得很清楚！

回复 #16 ccpaging 的帖子

这道题觉得先想到8和9的积72，然后除8的商是9，除9的余数为13－9＝4，那72+4＝76，结束

回复 #18 奇怪的球赛 的帖子

猜想在数学中有很重要的意义。面对未知其规律时，猜以及基于猜的试算，如同我们在茫茫黑夜中勇敢地迈出第一步，只有如此，才能有第二步、第三步，直至找到真相。

回复 #19 ccpaging 的帖子

是的，猜想和试算我觉得是先找到其中的规律，等找到规律了，再证明之。

画图求面积最简单易懂，正方形边长可以用一个数字如A代替。

　　看我的——

　　（一）画图作业
                                
　　白色的长方形就是原来的长方形。
　　原来的长方形长增加1厘米，宽增加3厘米，就变成一个正方形。其中增加部分就是红、粉红、绿、蓝4个色块。

　　（二）分析

　　要知道原长方形的面积，就必须知道它的长和宽。根据已知条件，可以推知原长方形的长比宽多3－1厘米。因此，只要知道原长方形的宽就可以求得它的面积。

　　红块的面积＝原宽×3
　　粉红块的面积＝原宽×1
　　绿块的面积＝3×（原长－原宽）＝3×（3－1）
　　蓝块的面积＝3×1
　　
　　根据题意，红块的面积＋粉红块面积＝33－（绿块的面积＋蓝块的面积）
　　红块＋粉红块，合起来其实就是一个以原宽为长、3＋1厘米为宽的长方形，因此
　　原宽＝［33－（绿块的面积＋蓝块的面积）］÷（3＋1）

　　（三）列式计算

　　｛33－［3×（3－1）＋3×1］｝÷（3＋1）＝24÷4＝6
　　（6＋2）×6＝48
　　答：原长方形的面积是48平方厘米。

　　　007聪明吧？大家猜一猜：007咋就这么聪明，想得出如此变态的算术解法？

如果我什么都不说明，直接写：

　　｛33－［3×（3－1）＋3×1］｝÷（3＋1）＝24÷4＝6
　　（6＋2）×6＝48
　　答：原长方形的面积是48平方厘米。

奥数派一定会盛赞有加！天才哪！

回复 #22 007 的帖子

绝顶聪明！

zxy2802 发表于 2011-7-26 11:46
回复 #22 007 的帖子

绝顶聪明！

　　其实007远没有到“绝顶聪明”的地步，可是，我怎么可能能够想到这么聪明的办法呢？那是因为我先用代数方程的方法找到答案，也找到了算术解法的思路。请看——

　　设原长方形的宽为x厘米，根据题得方程：
　　1x＋3[x＋(3－1)]＋(3×1)＝33
　　也就是，1x＋3x＋3×(3－1)＋(3×1)＝33
　　因此，(3＋1)x＝33－[3×(3－1)＋(3×1)]
　　x＝｛33－[3×(3－1)＋(3×1)]｝÷(3＋1)
　　所以，x＝6

　　用代数方法，列方程，解方程，多简单！可是偏偏有人觉得这种方法不够说明，像楼主那样不让人使用代数方法，或者说，在孩子没有学代数方程的时候硬逼人家用算术方法去解题。怎么办？
　　有办法！请看上面的x＝｛33－[3×(3－1)＋(3×1)]｝÷(3＋1)。
　　只要想办法引导孩子列出｛33－[3×(3－1)＋(3×1)]｝÷(3＋1)的算式，就行了！
　　这么复杂的算式，谁想得出来？
　　那就要赋予这个算式以意义，这就是上面“画图作业”和“分析”所做的工作了。这套思路看似非常聪明，实际上不过是借助代数方程的解法想出来的，没有什么值得炫耀的。还是老老实实等到孩子学了代数方程再讨论这种题目吧！

　　当然也可以设原长方形的长为y厘米，根据题得方程：
　　3y＋[y－(3－1)]＋(3×1)＝33
　　即3y＋y－2＋3＝33
　　因此，(3＋1)y＝33－1
　　y＝(33－1)÷(3＋1)
　　所以，y＝8
　　原长方形的面积为：8×（8－2）＝48平方厘米

　　根据上面的代数解法的提示，可以找到一种算术解法么？当然可以，那便是CC在8楼提出的方法了。请让我详细解释一番：

　　（一）用图画出已知条件

　　　　　　　　　　　　

　　白色的长方形就是原来的长方形。
　　原来的长方形长增加1厘米，宽增加3厘米，就变成一个正方形。其中增加部分就是红、粉红、绿、蓝4个色块，它们的面积是33平方厘米。

　　（二）问题解决的思路

　　要知道原长方形的面积，就必须知道它的长和宽。根据已知条件，可以推知原长方形的宽比少长3－1＝2厘米。因此，只要知道原长方形的长就可以求得它的面积。
　　红块的面积＝原长×3
　　粉红块的面积＝原宽×1，
　　绿块的面积＝2×1
　　蓝块的面积＝1×1
　　根据题意，红＋粉红＋绿＋蓝＝33
　　即，（原长×3）＋（原宽×1）＋（2×1）＋（1×1）＝33
　　（原长×3）＋［（原宽×1）＋（2×1）］＋（1×1）＝33
　　（原长×3）＋［（原宽＋2）×1］＋（1×1）＝33
　　（原长×3）＋（原长×1）＋（1×1）＝33
　　粉红块加绿块其实就是一个以原长为长、以1厘米为宽的长方形，跟红块合起来就是一个以原长为长、以3＋1厘米为宽的长方形。
　　也就是说，原长×（3＋1）＋（1×1）＝33
　　因此，原长＝［33－（1×1）］÷（3＋1）

　　（三）列式计算

　　［33－（1×1）］÷（3＋1）＝32÷4＝8
　　8×（8-2）＝48

　　我不想设原宽为x，也不想设原长为y，我想设正方形的边长为z，可以伐？
　　当然可以！
　　按照这样的假设，根据题意可以得方程：
　　1z＋3z－3×1＝33
　　为什么要减一个3×1？因为，1z和3z表示原长方形增大为正方形之后宽的方向和长的方向增加的部分，但是它们有一块重叠，减去重复计算的面积，就是增加的那33平方厘米。
　　上述方程可转换为：z＝（33＋3×1）÷（3+1）
　　解方程得：z＝9
　　原长方形的面积为：（9－1）×（9－3）＝48

回复 #28 007 的帖子

代数法是数学的进步。算术之用巧，也可以说，毫无意义。有那时间，不如循序渐进地朝前走，扎扎实实把代数的启蒙做好。

　　上面所述就是14楼奇怪的球赛提出的解法了。根据这种代数解法，也可以设想出一种算术解法。
　　（33＋3×1）÷（3+1）＝9
　　（9－1）×（9-3）＝48
　　　　　　　　　　　　　　
　　算术方法是多么的聪明！字数又是多么的少！
　　问题是：有几个人想得到？要求小三生想到这种解法，是多么的无知和残酷！
　　而实际上这些算术解法又都可以从代数解法中找到，到小五会学这种方法，何必急于用这种题去打击和折腾小三生呢？

回复 #29 ccpaging 的帖子

兵法讲， 以正合，以奇胜。 堂堂正正的战斗力是基础，但是奇谋诡计也是很重要的。

学好代数是根本，但巧妙的算法也很重要，不能说毫无意义

算术有什么奇的。1米8的个，弹跳力不够，无法扣篮，搬个凳子掂掂脚就可以扣了。

回复 #32 ccpaging 的帖子

呵呵，刚刚看到这个题目
1×3=3
33+3=36
36/(1+3)=9
(9-1)*(9-3)=48

验证：9*9-48=33

说不来，只会列式子…………和14楼的思路是一样的

回复 #33 babysmile 的帖子

最好的教法，就是不教。说不来，并不一定是缺点。教育的主体是孩子，爸爸妈妈会做不会做，说不说得来，都不重要人，只要孩子会做就行。

儿子最近在练毛笔字，妈妈把写的好圈出来，可矣。不解释，没法解释，自己个儿琢磨去。

回复 #30 007 的帖子

如果三年级小朋友想到了，自然要赞一声，聪明仔。如果没想到，有多余的时间去浪费，BBMM也不妨跟孩子一起玩玩，但没必要花大量的时间去深究，因为，到了四、五年级，他的代数思想启蒙后，这些都是小菜一碟。

在三年级，更重要的是性格、习惯、兴趣的养成，打下人生的底子。