小学奥数中的毒瘤（抽屉原理应不应该学？）

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忽略数学基本功. 有的获奖的孩子计算能力却不是很好.

土豆：一个半径为1M的圆，其圆周上有N个点，且其中至少有两点相距少于1M。试求N的最小值。
玫瑰：这题是什么意思啊? 题目也看不懂啊。
土豆：要用到抽屉原理、、、这些题，至少需要正常同学初中和高中的数学知识。能考出来的，应该是经过有针对性的培训。
玫瑰：抽屉原理是什么? 那个题是什么意思啊?什么叫n的最小值是几啊? 它不是说最少有2个吗? 土豆：抽屉原理在上海三年级教科书的数学广场里边有。但我觉得，要真正的理解和掌握抽屉原理的意义，应该是在学习了几何以后。而这道题，已经是抽屉原理的应用了。
玫瑰：抽屉原理有的很难的，看着就头疼。能进一步讲讲不? 土豆：你是不是觉得，根本就不知所云？
玫瑰：我题目也没看懂，更加都不知道要我们做什么。
土豆：对，就是这感觉，不知所云。其实，抽屉原理在实际的生活场景中是有的，但像这种题，已经是抽屉原理的高阶应用。
玫瑰：能不能用我能听得懂的话简单说说? 土豆：打个比方吧。电影院的经理，去电影院里边走了一圈，回来就说，“今天爆满”。有人问：“为什么？你怎么看出来的？”他说，因为有人找不到空座，立在边上看。也就是说，如果这个小电影院的座位是100个，那么，至少有101人在看电影，这个说法对吗？
玫瑰：这个说法好象没什么问题吧。
土豆：好，那再换一个例子。有二个抽屉，三个苹果，无论你怎么放，至少有一个抽屉里边有两个苹果。
玫瑰：对的，这个我能懂。
土豆：注意啊，难度增加了。如果有四个自然数，其中必有两个数，他们的差是3的倍数。
玫瑰：抽屉原理在四五年级一直要弄得，很难。
土豆：也就奥数弄，正规学习不用弄的。
玫瑰：学校的题目好像没有这么难的吧。那四个自然数是怎么回事？
土豆：任意四个互不相同的自然数，其中必有两个数，他们的差是3的倍数。
玫瑰：吃不准了，好像是的。
土豆：能说出道理来吗？
玫瑰：我还正想问呢，怎么证明啊？
土豆：先不急着证明。要是我一上来就出这样的题，“任意N个互不相同的自然数，其中必有两个数，他们的差是3的倍数，请问N最小是几？”是不是可能不知所云？
玫瑰：哦，还是有一点点明白的。如果是三个数，一个比一个多1，那么就不可能有两个的差是3，要再多一个数。
土豆：对，但这还不是道理，仅仅是一个特例而已。
玫瑰：那怎么办？
土豆：我们已经知道了抽屉原理，可以先依葫芦画瓢。但这样做，可能碰到些麻烦，1）这道题中有无限的概念，2）没找到“抽屉”。
玫瑰：还没完全能把这个套上，虽然有一点点概念了,但觉得还用不上。
土豆：嗯。
玫瑰：我想想、、、除以3的余数做抽屉，0、1、2共3个抽屉？
土豆：我来画画看，是不是这样？

玫瑰：对，我就是这么想的。
土豆：这样，我们就把无数个“苹果”，分成了三类。注意哦，这里用了集合的概念。
玫瑰：然后呢?
土豆：这是不是印证了抽屉原理，任意四个互不相同的自然数中每一个，必然可以放在其中的一个抽屉里边，那么，至少在一个抽屉里边有两个自然数。
玫瑰：哦
土豆：用电影院经理的话说，爆满了。
玫瑰：我再看看，你的意思是它们的差是3的倍数了，因为在同一个圈里嘛。
土豆：这是同余定理，或者说同余定理的应用、推论，对不？
玫瑰：很不好意思地说，我不知道什么叫同余定理。依稀记得奥数老师讲过，“除以同一个数，余数相同”。
土豆：（(a/3)的余数 + (b/3)的余数）/3的余数 ＝ （a＋b）/3的余数
          简化后，可以表示成
          余(a) + 余(b) = 余(a+b)
玫瑰：这道题看起来简单，真正做起来这么复杂啊？
土豆：解题中，运用了无限集合＋抽屉原理＋同余定理。无限集合，这个还好说，我们从小就没有讳言它。但我相信，不是每个同学，都能理解到这个程度。抽屉原理，也就是三年级的数学广场上露了一面，同学不知所云，老师也不知道怎么教。个人认为，抽屉原理涉及很复杂的逻辑表述，最好放在几何以后去学习。而同余定理，是初等数论的内容，是大学数学系的高年级专业课程。
玫瑰：这么说我不懂也不算很丢脸了啊。
土豆：看起来简单，要理解到相当的程度，需要有一系列的数学基础。
玫瑰：都说看起来也不简单啰。
土豆：我原来也不懂的，应用数学系没学过初等数论的，那是理论数学才学的。
玫瑰：那刚才那题呢？“一个半径为1M的圆，其圆周上有N个点，且其中至少有两点相距少于1M。试求N的最小值。”是不是分成6个部分？
土豆：再找抽屉和苹果呗。
玫瑰：6个抽屉？得要7只苹果？
土豆：嘿嘿，其实我也没想好。
玫瑰：我刚才是看也没看懂,题目里不是说至少2个吗?那为什么不能答2啊?
土豆：哪6个抽屉？
玫瑰：半径是1，对吧？边上的点要求相距少于1？
土豆：嗯
玫瑰：那么，就相当画出了个等边三角形，一共能画6个，对吧？那么得要7个苹果
土豆：怎么样的6个三角形？
玫瑰：画个图先，我是这样想的,圆周就被分成了6份

土豆：嘿嘿，明明是正六边形嘛
玫瑰：明明是6个三角形嘛！
土豆：好吧，将就您的说法。
玫瑰：可是我不懂,为什么我不能就摆两个点,就把它们放同一个格里呢？可是它又没说"不管怎么排"
土豆：不管怎么说，圆周上无穷个点被6个点分成了6份，那么，你试试把题目改一改呢？
玫瑰：应该加上，不管怎么摆，其中两点的距离少于1。
土豆：有N个不同的点，不管怎么摆，都能保证其中两点的距离少于1。
玫瑰：这样就对了。
土豆：这说明啥呢？
玫瑰：什么意思？
土豆：我觉得，出题的老师，没真正搞明白，或者说，他心里知道，却无法表述出来，又或者说，他表述出来了，童鞋们看不懂、、、
玫瑰：难怪我看到题目时，心里总想为什么不能写2呢?
土豆：但是，你现在学过类似的题了，是不是觉得，老师的问题不管怎么表述，你都明白的？
玫瑰：嗯,学过以后，感觉这题也没有原来觉得那么变态了。
土豆：那是因为，你心里已经有那些模式了
玫瑰：好象是的。
土豆：但我觉得，这就是在作弊，你说呢？
玫瑰：但那个题目，我始终觉得表述有问题。如果不是有针对性的练,那么看到题目仍是如同看天书啊。
土豆：对啊。所谓练，其实就是灌输，而不是Education，即Bring out。
玫瑰：因为它从孩子已有的知识是无法推导出来的，小朋友没办法用上现在学的东西来思考。
土豆：天外飞仙啊。三个知识点，跟现在的小四生都相去甚远。除了跳过，玩天外飞仙，根本没办法
玫瑰：首先，我家小四生就不可能知道要画正六边形，头一关就过不去了。
土豆：切，你画六边形，不也是想到了要找抽屉嘛，不跟你说抽屉，你想得到哇？
玫瑰：哦,这个我倒是原来就想到画，因为它说了两次1嘛。也画了草图，但画了不知道干什么用。
土豆：其实，我看到这道题，也晕了好一会。只是觉得，这种表述似曾相识，才联想到抽屉原理。
玫瑰：一直纠结与它不是说最少2个点吗？为什么不能写2呢？
土豆：俺换个说法，不跟你说抽屉原理，无论怎么写，你都很难去理解它的，要不，找个人试试？
玫瑰：不用试了，你说了我没懂，你要不是画了那三个圈圈，我也理解不了抽屉原理。我家小四生肯定一头雾水。你怎么不找自己孩子试试看呢？
土豆：揠苗助长啊。不说找小四生了，孩子他爸就玩不下去。只要是没学过奥数，又不是专业数学系的，可能基本都没戏。
玫瑰：孩子他爸他对不会做的数学题一律斥之为无聊。
土豆：这话朴素，其实有道理。
玫瑰：他原来是学理科的,数学挺好的,高考数学满分,但奥数不会。
土豆：我理解，所谓不会做，是指我努力了但还是不会做，这就说明，这个题跟我现在的水平相去甚远，通过别人传授，就像刚才那样教，就算会做了，还是不会用的，也就是说，学了等于没学。
玫瑰：有点道理啊。要考小学生，还不如直接说有六个抽屉,让你放苹果,你得要多少个苹果,才能保证不管怎么放都有一个抽屉里有两个?
土豆：那就不是奥数水平了。
玫瑰：这是我的水平。
土豆：如果我是数学老师，基本上，要是孩子提不出抽屉原理这四个字，也就不用讲了，讲了也白讲，徒增烦恼。

很有同感。
觉得通过外面上辅导班来参加竞赛没意思。
就是培养孩子走捷径的解题思路。
从来没听说过数学天才是靠上辅导班培养出来的。

就跟为了幼升小面试去学思维训练一样
训练出来的思维跟天生的发散思维根本不一样。
就算面试的时候正好切中考题，那么如果遇到没押到题的考试一样没用。

回复 #3 ccpaging 的帖子

感觉怪怪的，这道题确实有些变态，但是用这道题来批整个“抽屉原理”，总觉得有点说不出的感觉

回复 #5 jiangying 的帖子

语言描述超出了小学生的语文程度
原理1 把多于n个的物体放到n个抽屉里，则至少有一个抽屉里有2个或2个以上的物体。

有人问，你凭什么说小学生看不懂这段文字？我的方法很简单，如果小学生在生活中不用某些单词，那么就说明他不能理解和接受这些单词。
这句话里边有两组词，小学生一般不用的，“至少有一个”、“有X个或X个以上”。后一个词组是“大于等于”，小学生没学不等式，至少5年级以前不学。
这些词几乎是数学的专业词汇。在几何里边会大量用到。所以，抽屉原理需要几何学习作为铺垫。

抽屉原理需要集合知识
集合的概念在小学生的教科书中有，生活中也有。但奥数里边的抽屉原理普遍是无限集合。而按教科书要求，二年级小学生只要掌握20以内的数，三年级才掌握到100，四年级可能会上千上万。在这，“掌握”是指平时运算中使用的数的大小。教科书的这种安排跟小学生的生活实践是匹配的，他们在相应的年级所关心的问题，基本就在这个范围了。无限大、无限小，提一提，扩展点知识，这无所谓。要灵活运用的话，离同学的生活实践太远了。

其实，在实际工作中，也很少用到抽屉原理。真要用到了，分分钟就看明白了。

总的说来，学了很难懂，懂了也没用，不学也罢。对于数论，以上分析同样适用。

回复 #6 ccpaging 的帖子

"总的说来，学了很难懂，懂了也没用，不学也罢。对于数论，以上分析同样适用。"

这段话不能赞同. 你在另一个帖子里也说过约数用处不大,不用研究. 至于约数与抽屉原理是否有用, 这我不关心, 但我觉得你的态度有点太功利了.

物理和化学的理论,几乎都有明确的意义. 但数学的很多理论,至少普通人是看不出他有什么实际用途的. 以你经常转贴的观点, 要想学好数学,必须觉得数学有趣,数学很美. 如果以有用无用来学数学,恐怕很难学好.

<<要命的数学>>里面讲了一群"无用的数学家",他们宣称自己的研究成果,现在没有用处,将来也不会有用处,但他们就是喜欢研究.

回复 #6 ccpaging 的帖子

以教科书来决定孩子学习的内容是可笑的。我国多年来功利地以教科书学习的结果是国民普遍没有科学素养。
教科书和大纲是规范考试难度的，而不是限制学习内容的。要考的一定要学，不考的不能一定不学。学不一定要考，学甚至不一定要掌握。
对个体的孩子，学什么具体的内容可以有差别，但是如果把不适合某些孩子的内容打为毒瘤，怎么看我都觉得有点文革思维。

能不能懂，有没有用，不应该是孩子学不学的限制标准，而是最低标准。在掌握了这个最低标准的基础上，什么都可以学，但是不能强制学，也不要要求孩子学了就得懂。

最爱看楼主的文章。ccpaging写得非常好。

其实我和楼主没有本质分歧
楼主的意思实际上是“小学生不必学抽屉原理”，而不是“小学生不能学抽屉原理”
只是这个标题太霸道了。

jiangying 发表于 2011-6-2 10:58
回复 #6 ccpaging 的帖子

以教科书来决定孩子学习的内容是可笑的。我国多年来功利地以教科书学习的结果是国民普遍没有科学素养。

根据什么来决定教科书的内容，即哪些应该学，哪些应不应该学？
根据什么来决定教科书的教学顺序，即哪些此时学，哪些彼时学？

回复 #8 jiangying 的帖子

说楼主有"文革思维"可就过了, 楼主的标题"毒瘤","令人恶心的抽屉原理"等等只是为了吸引眼球,炒作而已.
要是没有楼主这般炒作,你也不会来质疑,我也不会来参乎,岂不少了很多乐趣?

一年级 认识数学 认识数字 大小比较 加减学习与认识 物体的认识

二年级 简单的加减乘法四则混合运算 认识大数 基本的生活应用(轻重，东南西北) 认识简单的几何图形(角、长方形、正方形、轴对称)

三年级 进一步学习多位数乘除法 认识分数 图形周长面积的求法及应用 圆角分、 重量长度用小数表示

四年级 应用题的一些分类学习 四则运算定律 线、角的初步知识 小数的认识及性质小数的应用 方程的初步认识(用字母表示数等式方程 应用题) 正数负数的初步认识及应用

五年级 小数乘除法 列方程解应用题 平面图形 立体图形 体积及表面积 约数和倍数 分数的加法和减法 简单的统计

注：
小学老师曾经问过同学们：“什么是数学？”Alex回答：“路上有数学，家里有数学，身上也有数学，到处都有数学。”对这个回答，我很满意。

http://www.klxuexi.com/News/53/0/2/40172.htm
2010-11-19 11:00:28
来源:解放日报 T|T字号:
　　“牛吃草，草在长，相对速度是多少？”面对这道小学四年级的数学题，相信不少学生和家长都会感觉，如今的小学数学真难。但在日前首次在沪召开的中国教育学会小学数学教学专业委员会年会上，全国各地的专家表示，上海的小学数学从教材要求来说难度并不高，但由于教学、作业、考试“超载”，才显得“那么难”。

　　课程标准，上海＜全国

　　不少家长感觉如今的数学教材中，复杂的应用题、绕着弯的思维训练等很多，难度远比自己当年读书时大。上海市教委教研室小学数学教研员姚剑强却认为，事实正好相反，教材难度“不升反降”。

　　纵向来看，本市当前使用的二期课改数学教材，基本内容比一期课改时有所减少。如“数的整除”，原本放在小学五年级，但由于概念比较多，现已推迟到初中预备年级再学。横向比较，上海版一至三年级的数学教学内容，比全国版少16个课时，部分学习内容也比全国版学得晚。如统计概率知识点，“全国版”教材将“平均数”概念放在小学三年级，而上海版则推迟到五年级。“无论从课程标准，还是从教材难度来看，上海的小学数学，都不算难。”姚剑强说。

　　数学思维≠“脑筋急转弯

　　那小学数学难的感觉从何而来呢？老师和专家分析，难在两方面：一是把教材中供学有余力的同学拓展的高层次内容，“扩散”到所有同学，无形中提高了教学要求。二是奥数“普及”，渗透到课内外，造成“超载”。

　　家长徐女士说，她小学四年级的儿子的数学作业，经常把本科生、硕士生家长难倒。比如三年级时曾有一道题：“在啤酒节上，每买3瓶啤酒，会免费换赠1瓶。小强共买了30瓶，最后拿到多少瓶啤酒？”这道题，其实是个连环套：30瓶共获赠10瓶；这10瓶，每3瓶还可以再获赠1瓶，共3瓶；这3瓶，还可再赠1瓶；最终的答案是30+10+3+1=44瓶。这种原本只供少数优秀同学的“余兴”题，变成了普遍要求，家长不禁感叹：“脑筋急转弯，成人都想不出，孩子怎么办？”

　　“用‘脑筋急转弯’训练数学思维，是一种误区。”市中小学数学教学专业委员会副理事长、数学特级老师曹培英认为，小学数学教育，应该像把水倒进沙子，自然渗透数学理念、培养思维，而不要拔高，为难学生。培养数学思维，老师还可放手让学生自己探究。本次年会上，一师附小徐蔚老师为三年级学生上了一堂《比较快慢》的公开课，不急于告诉结论，让学生自由讨论，自行摸索出不等式传递、传递的逆反性等数学规律。“数学思维训练，一定要水到渠成。”

　　考试＝“条件反射”？

　　把相对不难的教材 “教得难”，根本原因在于考试难。不少老师说，中考、高考的数学都是关键，应试压力难免传递到小学，这也反映在考题上。

　　据了解，目前小学数学考试的内容，主要有计算的熟练程度、对数学概念的理解和综合应用等几方面。前两者主要靠机械操练得分，训练“条件反射”；后者多要靠奥数技巧来化解。于是，一方面学生为了搏基础分，搞题海战术，把数学变成“单位时间内计算能力”的训练；另一方面，为了搏最后两道“大题”，花费大量时间课外加学“奥数”。

　　“应当从知识技能、理解概念、运用规则、解决问题等诸方面，建立多元开放式的考试体系，让学生从‘题海’中解脱。”一师附小教师曹志霞对比了中外小学数学考试的不同模式后建议。上海实验小学徐颖老师更进一步，展示了数学考试变身 “游园嘉年华”的新尝试，让学生在生活情境中体验运用数学知识的乐趣，减轻对考试的心理负担。

：“在啤酒节上，每买3瓶啤酒，会免费换赠1瓶。小强共买了30瓶，最后拿到多少瓶啤酒？”这道题，其实是个连环套：30瓶共获赠10瓶；这10瓶，每3瓶还可以再获赠1瓶，共3瓶；这3瓶，还可再赠1瓶；最终的答案是30+10+3+1=44瓶。

这个这个。。。商家不会这么卖吧？赠品满3瓶还要再赠，那商家不是亏死了？不符合逻辑呀。。。生搬硬造出来的应用题啊。。。

ccpaging 发表于 2011-6-2 11:29
根据什么来决定教科书的内容，即哪些应该学，哪些应不应该学？
根据什么来决定教科书的教学顺序，即哪些此时学，哪些彼时学？

个人愚见，应该回答这个问题的人不是家长，而是搞教育和搞数学的专家。

而且，窃以为，这个问题对家长并不重要。理由如下
学校教学是每个孩子的底限，底限怎么设置，只要不是太难，那么无关紧要，关键是针对独特的个体，孩子该学什么，怎么学，要达到什么样的要求？

现在的问题，不是学校教学难，而是课外的难。但是奥数流行的原因是什么？这个是另一个我们需要思考的问题

回复 #13 ccpaging 的帖子

根据以上所列的知识点来看，我孩子大多学过了，除了“列方程解应用题，立体图形，体积及表面积“。 当然仅仅是学过，离熟练掌握还有很大距离。

我对孩子的下一步规划就是因式分解和几何证明，这两点我尝试讲过，不过孩子没听懂，所以暂时放弃。准备过半年再试试。我就是按自己当年的经验，没有仔细研究过，如果您觉得有什么不对，还望告知，我好修改计划。

我孩子和 jiangying  的孩子挺像的，对数感兴趣，对几何兴趣一般。不过最近对折纸很感兴趣，我买了2本折纸的书，都太难了，我也看不懂。 不知你有没有好书推荐？

看的我头晕晕的，我可是最怕数学了，想到以后可能要辅导孩子学奥数，头都痛了

回复 #11 ccpaging 的帖子

我觉得中国的数学教科书的内容设置还是不错的,和欧美差距不大,差距主要在教学方法.
不过教学顺序有些问题.解一元方程比鸡兔同笼容易得多,但教学顺序却完全相反.

关于因式分解,也是一样. 记得有关张政的报导.张政曾经把儿子教进了一个科大少年班,现在又办了一个班教小孩. 在他的班上幼儿园大班小孩可以熟练的通过因式分解来解方程. 虽然他教出的学生并没有取得多大的成就,但有些思路还是很值得借鉴的.

回复 #19 aochuanhui 的帖子

本来想把原来看到的张政的资料搜集起来，无意发现萧愚之《当神童走向成年》。
http://blog.sina.com.cn/s/blog_476e6cfa01000542.html

不妨看看

ccpaging 发表于 2011-6-2 11:29
根据什么来决定教科书的内容，即哪些应该学，哪些应不应该学？
根据什么来决定教科书的教学顺序，即哪些此时学，哪些彼时学？

同意 @jiangying ，“应该回答这个问题的人不是家长，而是搞教育和搞数学的专家。”
那么，俺换一个问题：

在亲子数学中，根据什么来决定哪些应该学，哪些不应该学？又根据什么来决定哪些先学，哪些后学？

回复 #21 ccpaging 的帖子

这个问题好回答些，我的意见
首先也是最重要的，学校的内容（这里指的是适合当时年级的内容，超越年龄的内容不在这里）是底限，这部分内容要优先掌握。

其次，学校的内容以外，根据孩子的具体情况，想学啥就学啥，但是要注意以孩子为主，以适合孩子年龄的方式学习“教材规定不适合孩子年龄学习的内容”。不要怕孩子一次学不会，也不要怕孩子没基础，尤其不能因为孩子学不会而紧张，打压，强迫考核。

第三，知识其实不重要，思想才重要，中小学数学的，最重要的思想，我个人认为是变量，不管，函数思想，数形结合，广义对称，喻理于算，等等，说穿了就是“变量”思想。只要孩子掌握了变量，初等数学的一切都可以揉在一起了。

回复 #22 jiangying 的帖子

例如，单位，面积，速度，加速度等。

回复 #23 ccpaging 的帖子

这不就是我想在这里学习的内容吗

回复 #23 ccpaging 的帖子

这个问题提得太大了。
具体到某个概念倒可以讨论讨论。
另外
有没有现成的几何启蒙资料？给点瞧瞧？

回复 #23 ccpaging 的帖子

我最难的是给小孩讲面积，长方形面积等于长乘以高，小孩问为什么？我没办法，只好用微积分的概念讲了一下，孩子大概懂了。
不知道小学里面老师是怎么讲的，有没有更容易理解的方法？

aochuanhui 发表于 2011-6-3 13:57
回复 #23 ccpaging 的帖子

我最难的是给小孩讲面积，长方形面积等于长乘以高，小孩问为什么？我没办法，只好用微积分的概念讲了一下，孩子大概懂了。

我也没关心过孩子在学校里是怎么学的呢。
要是小小朋友，先解释长方形正方形这种图形吧。
也可以说是微积分概念了呢，不过我微积分学的差都忘光了。

准备多个小正方形道具，比如小饼干，或者用硬纸板剪成１厘米见方的小纸片，排成２ｘ２个，２ｘ３个，３ｘ４个，让他数一下，横排几个，竖排几个，总共是几个。横排数量变化了，竖排数量变化了，总数又会增加几个。
孩子会１位数乘法的前提下，可以让他找到这个规律，就是小纸片的总数和横排，竖排的数量相关。也就是长方形面积和长宽相关。

回复 #27 茉莉清茶 的帖子

我用棋子摆过图形来讲周长和面积。不过棋子是单个的，而面积是连续的，棋子的数量乘起来好懂，但4cm乘5cm是什么就不太好懂了。

我是这样讲的：画一个长方形长5cm，宽4cm。我先在长方形里面画一根5cm的线段，再在下面画一根5cm的线段，那么总长度变成10，再在下面画一根5cm的线段，那么总长度变成15，然后我把长方形里画满了5cm的线段，问孩子总长度是多少？孩子说不知道有多少根线段，所以算不出来。我说我也不知道有多少根线段，但是我知道总共有4cm这么多，所以面积就是5cm乘以4cm。孩子说懂了，不过我看他只是“略懂”
还有一次，孩子问我为什么面积总是大于周长？我正好看见小区门口的一个圆牌子，于是说：看那个圆牌子，他的最外面一圈就是周长，但是圆牌子里面还可以画无穷多个圆圈，这无穷多个圆圈的周长加起来就是面积。

aochuanhui 发表于 2011-6-3 15:18
回复 #27 茉莉清茶 的帖子

我用棋子摆过图形来讲周长和面积。不过棋子是单个的，而面积是连续的，棋子的数量乘起来好懂，但4cm乘5cm是什么就不太好懂了。

我觉得咱们的意思差不多。
但是要给孩子一个面积的感觉，就是它是一个“片”，不是两根线。当然我们理解两根线围起一个面是很方便的事情，但对孩子来说还不够形象。所以，我觉得用饼干或硬纸片描述“面积”这个概念更直观一些。

从孩子说为什么面积总是大于周长这句话看起来，就他还没有完全区分面积和长度的概念。
所以先要告诉他，长度像是“线”一样的，面积象“片”一样的。

长度就是比较两条线的长短。
面积就是比较两张纸的大小。
体积就是比较两个杯子中哪个能装更多的牛奶。

速度就是比较两个人谁走得快。
加速度是看谁能在更短的时间内加速或者减速。

基本概念都在生活中有实际意义。不是先有概念再有生活，而是先有生活，才有了概念。要学习基本概念，要从生活中积累体验开始。

等式、不等式就是跷跷板、天枰。
几何就是点线面的关系，就是折纸。

几乎所有基础的数学问题都是有生活中的来路。人们研究这些问题是出于生活中的实际需要。

回复 #30 ccpaging 的帖子

看来大家都觉得我的说法有问题，得反思一下。

不过，积分不就是这样积的吗？上大学时光玩了，高数学的不好，不过积分的概念应该不会理解错吧
把一个杯子切成无穷多个薄片，每个薄片的面积加起来就是体积，不对吗？

你们是觉得我的说法容易误导小孩还是我的说法根本就是错的？
虽然面积和长度不一样，但我觉得我的说法把面积和长度联系了起来，把一维和二维联系了起来，是一种更高级的说法：）

回复 #31 aochuanhui 的帖子

例如吃皮萨，俺把边切下来给你，你吃长的，俺吃中间那块短的，好哇？

回复 #31 aochuanhui 的帖子

我微积分不好，特地去百度了一下。
我觉得你的说法是正确的，但是现在对你的孩子而言我觉得过早了，是不是应该等他建立了初等几何概念之后再引申啊。不然真的产生概念混乱了。

摘转
常量数学在哲学上的辩证分析 　
　　先提一提算术，其实是一种人为的约定，起源于原始的劳动计数和收集。这是一种人特有的意识，对自然活动的一种反映。假如，你旁边有一个人和一只狗，你说：1+1=3；旁边的人就会指出：不对！1+1=2，我相信你旁边的狗是不会有意见的。
下面看一看初等几何（欧几里得几何），几何少不了要研究图形。于是欧几里得说： 　　
1. 点是没有部分的那种东西。 　　
2. 线是没有宽度的长度。 　　
3. 直线是同其中各点看齐的线。 　　
4. 面是只有长度和宽度的那种东西。 　　
5. 面的边缘是线。 　　
6. 平面是与其上直线看齐的那种东西。 　
　········ 　　
15.圆是包含在一（曲）线里的那种平面图形，使从其内某一点年到该线的所有直线都彼此相等。
　　几乎都是从哲学意义上去定义的，我们不禁要问，“没有部分的那种东西”和“只有长度和宽度的那种东西”是什么东西呢？“没有部分”存在吗？我们能够看见他们或知晓它们吗?当然，前提是如果这种“东西”存在的话。除此之外，我们能说“点”就在我们心中吗？“点”是虚构的吗？
　　在实际处理中，我们是能看到点的。比如，笔尖在纸张上用力轻轻一“按”就得到了点的图形。当然，你们的老师说会告诉你，这个图形没有长度、没有面积、没有体积；就差说这个东西不存在了！美其名约：“这是数学的抽象性！”这是对自然界客观事物的诡辩，不定义的“点”、“线”、“面”是经过抽象的，认为它们不具备自然属性，只有几何特性；然而自然界所有的“点”、“线”、“面”都是客观存在的，均具有自然属性。姑且不谈爱因斯坦的时空观，就算是牛顿的绝对时空观也有：定理I：一切物体总占据着空间且不受影响，并能进行空间交换。
　　可见，自然界确实找不到没有体积（不占据空间的）点、线、面。于是，初等几何和自然界就必然存在着矛盾。例如平面直角坐标系内的任意曲线（函数、方程）作为自然界的客观实体，元素（点的轨迹——集合）是实实在在的物质，是有长度的！
　　可是有长度的点还是点吗？当然不是至少也会是线段，存在却不可度量！可见自然界的“点”不在人的意识定义范围之内（不可度量性）。这就是说，算术也与自然界的矛盾。这样就不能以（算术的度量尺度+初等几何）来描述了，因为无法描述非要描述呢话（点是没有长度的长度）！这是一个典型的罗素驳论：点是长度为0的长度或者点不是长度！到底是什么？这仅仅是表面现象，根本上还是说明了一种辩证关系：自然界是独立的，意识只是人脑的反映。
　　代数这么样呢？无非就是解方程，x+1=2；则有x=2-1=1。还是纯粹的人的意识，自然界的客观性，基本没有提到！您想，用脱离自然界客观性的初等数学，来研究自然界实实在在的客观事物，能行吗！
　　所以，数学在历史的长河中，要等待一种新的理念，来承认自然界的客观性。这样数学才能爆发出，惊人的力量。 　　启迪：数学方法怎样处理自然界的客观问题 　　数学对象是自然界的客观实体，方法上就必须保持自然界的客观性是存在的，最终能够回归到自然界，不能停留在意识之上！

回复 #33 茉莉清茶 的帖子

这段话不全吧，感觉是断章取义呢。后面应该还有展开。

退一步说，基于这段话的假设，点是有长度的，线是有宽度的。那么这就是一个微积分的概念，无穷多个无穷小的线的面积构成图形的面积，也不是周长构成面积。怎么也证明不了aochuanhui的命题， 面积大于周长。

想说明啥问题呢？喜欢的学，不喜欢就不学

回复 #3 ccpaging 的帖子

俺是大学计算机系的老师,从小到大数学也算学的不差,高等数学,线性代数,离散数学,图论,概率论......,俺念书不算差,可俺在看本帖之前真的不懂啥叫抽屉问题,俺真的不懂,不是摆噱头.
理工科的大学老师居然不知道抽屉问题这个术语.
非常惭愧!!!

回复 #36 mzhehome 的帖子

看了上面那一大段讲"抽屉"的东西,感觉真他妈的象在说相声,绕口令.
难道就不能用简单易懂,条理清楚的话来讲吗?
被绕的晕晕乎乎的.

回复 #34 jiangying 的帖子

面积和周长肯定不能比的，这根本不是一样性质的东西。
我前面说，还是先从基本的几何概念出发吧，不然小孩子搞糊涂了。

至于这段话，我是从百度词条里拷过来的，咱们大人自己讨论讨论。

aochuanhui 没有区分线、面、体，jiangying 说要以孩子为学习的主体，mzhehome 纠结于抽屉原理，茉莉清茶 讲要从基本的几何概念出发、、、
窃以为都是一个问题，基本概念要从哪里教起的问题。传统的教育要老师讲，同学们听，就普及教育或者底线教育来说，尚有可行之处。因为普及教育教的慢，等教到那儿的时候，同学们或早或迟，都有过足够的体验打底了，例如：
分过饼，为你多我少的问题争吵过了。
注意过不同的几何图形，有小小的审美观，注意到对称与非对称。
跟别的孩子比过高矮。
跟别的孩子比赛过赛跑。据说，男孩子在奔跑中有快感。
女孩子可能还会注意到自己胖瘦、体重。
有的男孩子还喜欢爬高，把敢跳作为一种自豪。相信这样的孩子对加速度是有体验的。

这些体验就像肥沃的土壤，经老师一点，立刻就长出了数学的小苗。

如果没有这些体验或者体验不足，即是同样的老师、同样的同学、同样的教法，就像是在沙漠里面种树，虽也可能成功，但绝对要费力的多。

怎么来判断孩子是否有足够的体验呢？其实大人没有处在孩子的角度，很难知道的。有一种比较保险的做法，那就是等孩子来问，只要他问了，就说明他准备好了。当然，在他问之前，如果BBMM有兴趣、有能力、有空闲，是可以营造较好的问题情景来刺激他发问。

回复 #34 jiangying 的帖子

看来,我们观点的区别在于我认为点组成了线,线组成了面,面组成了体, 但你们认为线就是线,面就是面,体就是体,他们互相没有关系,不能比较,是不是?

那么你们是如何对孩子讲解面积公式的? 就说长乘以宽,定义如此,没有为什么?

难道单位不同的东西就一定不能比较吗? 如果谁能说清楚为什么面积等于长乘以宽,我们的争论就可以结束了

回复 #39 ccpaging 的帖子

体验是知识的基础, 具体是抽象的基础,这肯定是真理.

怎么来判断孩子是否有足够的体验呢？ 我的做法是主动提问,如果孩子感兴趣,并能在一定程度上理解,那我就会针对性的设计各种游戏来帮助他增加体验,提高理解.

回复 #36 mzhehome 的帖子

哈哈，那说明这些老师知识结构不完整。

抽屉原理又称鸽巢原理，它是组合数学的一个基本原理，最先是由德国数学家狄利克雷明确地提出来的，因此，也称为狄利克雷原理。

pupil 发表于 2011-6-4 21:03
回复 #36 mzhehome 的帖子

哈哈，那说明这些老师知识结构不完整。

终于引出“玉”来了！正好有许多问题，待俺一一请教。

1、德国数学家狄利克雷碰到什么实际问题引发了他对抽屉原理的兴趣？抽屉原理解决了那些实际问题吗？
2、抽屉原理在知识结构上是哪一层的？在它下面需要学习哪些数学基础知识？
3、小学生问，为神马要研究抽屉原理，您准备如何回答？

回复 #42 pupil 的帖子

组合数学在计算机硕士课程里面只是一门选修课,并不是所有的研究生都要上组合数学的,我从来痛恨奥数,这玩意对于95%的小孩来说是没有用的,只不过是个敲门砖罢了,敲好了就没用了.
记的以前报上看到,国外一个有名数学家访问上海,有家长向他请教一个奥数题的解法,那个数学大师看了两三分钟微笑的说我解不出.
大学理工科老师说一声他妈的也没啥关系,这一声他妈的是送给那些用奥数捞钱的所谓的教育者们.
现在社会上靠奥数捞钱的人太多了,滥芋充数的人多了

回复 #42 pupil 的帖子

组合数学的鸽巢原理我大概知道,但奥数里面把它叫做抽屉原理,这个名词我真的没听说过,我不太研究奥数,家里小孩也没让读奥数,只是偶尔邻居的小孩会拿奥数题问我,而我的解法所用的知识又超出了他们学过的范畴. 我问过学校里数学系的同事,几乎所有的数学老师都反对奥数.
(对了,我们学校研究生他们组合数学所用的教材一般用J.H.van Lint 的那本)
Pupil应该是学数学出身的吧?

mzhehome 发表于 2011-6-5 15:12
回复 #42 pupil 的帖子

组合数学在计算机硕士课程里面只是一门选修课,并不是所有的研究生都要上组合数学的,我从来痛恨奥数,这玩意对于95%的小孩来说是没有用的,只不过是个敲门砖罢了,敲好了就没用了.

赞同！这也是我的坚持，但是纠结于缺少了这块敲门砖，大门怎样打开呢，求攻略。

mzhehome 发表于 2011-6-5 15:12
回复 #42 pupil 的帖子

组合数学在计算机硕士课程里面只是一门选修课,并不是所有的研究生都要上组合数学的,我从来痛恨奥数,这玩意对于95%的小孩来说是没有用的,只不过是个敲门砖罢了,敲好了就没用了.

要不俺们也斗胆说说剩下的那 5%？

剩下的5%，暂且称之为天才吧，10岁左右。他们，由谁、在何时，学习研究抽屉原理所需要的那些基础，例如，数理逻辑体系（这是通过研习几何来建立的），排列组合，集合论特别是无穷集合，初等数论。而且，这些基础不是三言两语带过，还要精通到相当的层次。

回复 #47 ccpaging 的帖子

我读大学时学的是离散数学,研究生阶段才学了数理逻辑,现在的小学生越来越神马浮云了,后生可畏啊

回复 #48 mzhehome 的帖子

还有个问题,现在社会上教奥数课的师资是哪里来的?我想小学数学老师以他/她们的学力是不可能接受过很完整的数学训练的.    我觉得能上奥数课的老师起吗要中学数学老师,而且一定是数学系毕业的才有可能.
另外就算有师资了,那么5%的天才小孩能听的懂吗?
据我所知现在的奥数就是教你死死记住,哪种类型的题目套哪种公式来解题,就是死记住各种题型的解法,我觉得这样真的很没劲的,没有一点意义

回复 #49 mzhehome 的帖子

听过几堂奥数课。所谓奥数老师跟学校的数学老师一样，都是以灌输的为多。不同的在于，学校的数学老师讲的东西受教科书限制，通常来说，学生们有生活体验的基础，大多数同学都能理解和接受。而奥数老师讲的简直就是天马行空，完全不管同学的生活体验，同学们只能机械地记住，依葫芦画瓢。
以我观察，上那那几堂奥数课的小学四年级同学，最好的孩子最多也就能听懂10％。纯粹是浪费时间。