小学数学概念启蒙（什么是面积）

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这个问题，我分别问过小学三四五年级，普遍的回答是：
面积就是长X宽

请教BBMM们，你们知道什么是面积吗？

我是数盲,不敢发言,是来听课的.

面积是指一个平面的大小或者立体物体所有面的大小之和。
长乘宽那是长方形的面积计算方法。

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我是难以想象，古人为什么把面积定义为长X宽？ 莫非是用排除法？可以证明长加宽，长减宽，长除以宽肯定是不对的:)

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也想知道啊

为什么面积等于长乘宽？
这是长方形的计算方法，因为我们规定的面积单位如平方厘米指边长1厘米的正方形大小是1平方厘米。一个平面图形含几个面积单位我们就说面积是几平方厘米。而长方形长几厘米就意味着一行可以摆几个这样的面积单位，宽几厘米意味着可以摆这样的几行，长乘宽得到的结果恰好是所含的面积单位数量，所以可以这样做。这个内容上课要好几课呢，如果是想自己教的话，网上搜索相关的数学PPT比较好。

aochuanhui 发表于 2011-6-7 17:35
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我是难以想象，古人为什么把面积定义为长X宽？ 莫非是用排除法？可以证明长加宽，长减宽，长除以宽肯定是不对的:)

李老栓家有两个儿子，现在要分家。正好家里有两块田，如下图：

李老栓跟儿子们商量好了，大的一块田分给哥哥，小的一块田分给弟弟。
可是，这两块田孰大孰小呢？

三角形有三角形的算法，平行四边形有平行四边形的算法，梯形有梯形的算法，圆有圆的算法。面积不是长乘宽，那只是长方形的算法。为什么要把一个以偏盖全的错误不断深化呢？

上面的不规则曲线图形可以用方格分割后近似求得（对小学而言，比较麻烦了）

    有一次，爱迪生把一只灯泡（还没有制成成品）交给他的助手阿普顿，让他计算出这只灯泡的体积是多少。阿普顿是普林斯顿大学数学系的毕业生，又去德国深造了一年，数学程度相当不错，他拿着这只梨形的灯泡，打量了好半天，又特地找来皮尺，上下量了尺寸，画了剖视图、立体图，还列了一道又一道的算式。一个小时过去了，爱迪生着急了，走近一看，在阿普顿面前，好几张白纸上写满了密密麻麻的算式。爱迪生用了很简单的方法，就测出了灯泡的体积.......

请问，爱迪生用的是什么方法？

ccpaging 发表于 2011-6-7 18:54
有一次，爱迪生把一只灯泡（还没有制成成品）交给他的助手阿普顿，让他计算出这只灯泡的体积是多少。阿普顿是普林斯顿大学数学系的毕业生，又去德国深造了一年，数学程度相当不错，他拿着这只梨形的灯泡，打量了好半天，又特地找来皮尺，上下量了尺寸，画了剖视图、立体图，还列了一道又一道的算式。一个小时过去了，爱迪生着急了，走近一看，在阿普顿面前，好几张白纸上写满了密密麻麻的算式。爱迪生用了很简单的方法，就测出了灯泡的体积.......

请问，爱迪生用的是什么方法？

灯泡放水里？

回复 #12 瑶瑶妈 的帖子

这是比较好的办法.可是体积可以这样,上面的面积不行.不知道楼主想说什么?感觉这里不是在讨论面积问题,似乎在批判我们的教学么,呵呵.

农田


插秧


丈量土地


丈量土地用的绳子

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这两块田怎么比较不好办，但是怎么比较纸上这两块图我有办法
把两块图剪下来叠在一起，把完全重合的部分剪去，然后剩余的部分再重叠再剪去直到有一张图完全被剪去，那么剩下的那块就是大的

壮族曾经用过两种计算土地大小的方式，即以产量计算和以用多少种子计算。例如，壮族人说我们家有一块10斤田，那么就是指种这块地需要10斤种子。
农民伯伯真正关心的不是面积，而是这块地上能种多少粮食。例如种水稻，能种多少窝秧苗，这才是重要的。而秧苗是有苗间距的，秧苗过密生长不好，秧苗过疏则浪费土地。插满秧苗后，田地就像被铺满了一张方格纸。如下图：


数一数这张图上有多少个交叉点，就可以知道能栽多少窝秧苗。这显然比用所消耗的种子来计算田亩的大小要精确些。

前面讲了通过计算秧苗的窝数来丈量田地大小的方法。有人说这种方法不够好，因为：
1、不同地方根据土地的不同，苗间距是不一样的。
2、过于繁琐，效率不高。丈量土地的精确性固然重要，但实际上，丈量土地的效率同样重要。

后来，人们发现了一种更精确更高效的测量方法：
一般需要三个人。
先在田的两端做上两根平行的直线，以绳子上刻度标记，确定测量点。
两人分别站在两侧相对应的测量点上。
读取长度。
第三人手持算盘，计算这些长度的和。

最后的和就是田亩的大小。

经过分析可以发现，以这种方法实际测量的实际上是灰色的那块区域的大小。
“须须头”的部份进行挖补，适量增减。

我们现在的生活好了，都是买成衣穿，以前可不一样哦，大家都是买布自己做衣服穿。既然我们要用布，自然也就少不了要买布。   
可是这一次，妈妈买布的时候犯难了。原来店里有两块总价一样的布，一块布长6尺宽4尺，另一块布长5尺宽5尺。两相比较，一块长一点，一块宽一点，到底那块布更便宜呢？   

小明的妈妈没上过学，不知道，于是，就回家了。正巧小明在家里，于是妈妈把她今天遇到的难事给小明一五一十地说了。   

如果你是小明，你会建议妈妈买哪一块布呢？为什么？

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http://ww123.org/forum-redirect- ... 7-fromuid-4155.html

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我的做法：把两块布叠在一起，先看看两块布的最大重叠部分，就是 长5尺宽4尺的部分，然后分别减去长5尺宽4尺的部分， 第一块剩下长1尺宽4尺， 第2块剩下长1尺宽5尺，所以第2块更大更便宜。

回复 #20 aochuanhui 的帖子

搬个板凳坐倒听。

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我很想知道，是否古代世界各国对长方形面积的计算是否都是长x宽？

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这种测量办法，本质上就是在固定宽度的情况下测量长度。也就是说面积是由宽度和长度决定的，至于为什么是长乘宽，而不是长加宽或者别的，还确定不了。

至于面积的基本单位自然也应该由长度和宽度的基本单位决定。

先回忆下线的度量

显然左边的线长右边的线短，但是长多少呢？我们现在无法用数值来表示。

有了长度的标准单位，数一数，我们知道，左边的线长为5，右边的线长为3，左边的比右边的长2。

布的大小的度量

左边的布长6尺，宽4尺。右边的布长5尺，宽5尺。
经过 @aochuanhui同学巧妙的剪裁比较，我们知道右边的布要大一些。
同样的，我们想知道究竟大多少？

跟度量长度一样，我们先找到一个布的大小的标准单位，即长宽均为1尺的小方块。把这样的小方块铺满。
逐个数一数，我们就知道，左边的布有24个方块，右边的布有25个方块，右边的比左边的多一个小方块。

有没有比逐个数更快的计算方法呢？

有没有比逐个数更快的计算方法呢？当然有啦。

有的同学说，可以一行一行加起来。
有的同学说，可以一列一列加起来。

很好，这些都是一年级同学的做法。有没有比逐个数更快的计算方法呢？

@茉莉清茶  同学说可以用乘法，４排６列，4x6 = ２４个方块。

这个方法厉害了，一个乘法就搞定了。为什么是 4x6 呢？这是一种巧合吗？在这个算式里边，4是从哪里来的，6又是从哪里来的呢？

回复 #25 ccpaging 的帖子

因为布长6尺，宽4尺

回复 #26 aochuanhui 的帖子

如果我们布长加一尺，该如何计算呢？如果我们布长减一尺，该如何计算呢？
如果我们布宽加一尺，该如何计算呢？如果我们布宽减一尺，该如何计算呢？

子：你烦不烦啊！长X宽就可以了。

我觉得有个概念很容易理解
我画一个1X1的方块，然后再画一个1X1，如果把这两个方块并列在一起，那么面积应该就是原来的两倍(因为1+1=2的原理)。所以面积是长X宽，而不是长+宽之类的东西。

sour 发表于 2011-6-12 14:40
我觉得有个概念很容易理解
我画一个1X1的方块，然后再画一个1X1，如果把这两个方块并列在一起，那么面积应该就是原来的两倍(因为1+1=2的原理)。所以面积是长X宽，而不是长+宽之类的东西。

我们把小方块三个放一排,放两层,这时候是几个方块,通过数数可以得出有6个方块,如果一个方块的面积是S，现在面积6个S，那么我们有什么好的方法可以算出方块的个数呢，每一层3个，两层就是3X2=6，那么我们如果把这个方块定位标准单位1，那么面积就是长X宽

回复 #29 sour 的帖子

方块的英文是 Square，面积可用 Squares 来表示，所以作图时我们喜欢用首字母 S 来表示。
例如：


说到用S标注的方法，还有一段 Alex 偷学故事呢。

今天，Alex在计算面积的时候给一块复杂图形的不同方块标注了字母代号，而且在每一个计算式前面加上了这个字母代号。   
  
父：你这样做很好，怎么发明的？
子：嘿嘿，这是我课间休息的时候看到三2班的张老师在黑板上写的。
父：哦，原来是张老师教你的，可是你是三1班的啊？
子：不是张老师教的，我是路过的时候瞄了一下，张老师在方块里边写上了S1、S2，我觉得不错，就用上了。爸爸，为什么要写上‘S’这个字母呢？
父：我猜是从Square来的吧，面积的单位不就是一个个小方块吗？
子：原来是这样啊，我喜欢写成A和B。
父：AB也很好啊，这样计算过程就很清楚了，不会搞混。你能给这个方法取个名吗？
子：嗯、、、那就叫‘标记’法吧。

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非常好！我觉得的这种说法小孩子可以很清楚的理解

一直以为面积是shape, 原来是Squares

这下更好办了

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本帖最后由 sour 于 2011-6-12 14:55 编辑 我觉得有个概念很容易理解 我画一个1X1的方块，然后再画一个1X1，如果把这两个方块并列在一起，那么面积应该就是原来的两倍(因为1+1=2的原理)。所以面积是长X宽，而不是长+宽之类的东西。

点评
sour  我想到了,这个和乘法的意义有关  发表于 2011-6-12 15:05


sour  2(a&b)=2a&b=a&2b 所以能说明么？小学数学有点忘记了，因为你添加在长还是添加在宽面积一样的  发表于 2011-6-12 14:53


sour  定义长为a 宽为b s为面积，S=a&b &表示运算式，2S=2a&b 得出2(a&b)=2a&b 剩下要怎么说明  发表于 2011-6-12 14:51


sour  这样可以证明正确性,但是无法推出公式,呵呵,还是要想想  发表于 2011-6-12 14:47





我重新想了想，我放一个方块，面积为s，放一个一样的，面积是2s,再放一个3s，长变了多少呢，3a，所以得出结论
面积和长成正比，同样的道理可以得到面积和宽也成正比。且当其他条件不变的时候，只和变化的长宽有关。
小孩子懂得正比的意思么?

回复 #33 sour 的帖子

不懂得正比没关系，只要懂得乘法就行。
就像你这样推导，放一个方块，面积大小随便，再放一个一样的，面积变成2倍,再放一个面积变成3倍，由此可以推导出宽度扩大缩小几倍，面积就乘或除以几。长度也是一样。当长和宽同时变化，那就先乘以长再乘以宽，这样就很好理解了

很复杂，头晕