感受小学数学思想的力量（小学生寓理于算：对屁题的研究

感受小学数学思想的力量——写给小学数学教师们
http://www.csscipaper.com/course/xiaoxuekechengjiaoxuedongtai/135129.html

张景中

【专题名称】小学各科教与学
【专 题 号】G39
【复印期号】2007年12期
【原文出处】《人民教育》(京)2007年18期第32～35页
【作者简介】张景中　中国科学院

小学生学的数学很初等，很简单。
尽管简单，里面却蕴含了一些深刻的数学思想。

张景中

最重要的，首推函数的思想。
比如说加法，2和3加起来等于5，这个答案“5”是唯一确定的，写成数学式子就是2+3=5；如果把左端的3变成4，右端的5就变成6，把左端的2变成7，右端的5就变成10。右端的数被左端的数所唯一确定。在数学里，数量之间的确定性关系叫做函数关系。加法实际上是一个函数，由两个数确定一个数，是个二元函数。如果把式子里的第一个数“2”固定了，右端的和就被另一个数确定，就成了一元函数。
在中学里学习函数概念，只讲一元函数，以为多元函数复杂，不肯讲。其实，小学生先熟悉的是多元函数，因为学过的大量的数量关系是多元函数的例子。矩形面积等于长乘宽，是二元函数；梯形面积等于上底加下底的和再乘高除以2，是三元函数。所以多元函数的概念更容易理解。讲函数概念，不妨一开始就讲多元函数；具体研究，再从一元函数开始，这样比只讲一元函数更容易理解。
当然，不用给小学生讲函数概念。但老师有了函数思想，在教学过程中注意渗透变量和函数的思想，潜移默化，对学生数学素质的发展就有好处。
比如学乘法，九九表总是要背的。三七二十一的下一句是四七二十八，如果背了上句忘了下句，可以想想21+7=28，就想起来了。这样用理解帮助记忆，用加法帮助乘法，实质上包含了变量和函数的思想：3变成4，对应的21就变成了28。这里不是把3和4看成孤立的两个数，而是看成一个变量先后取到的两个值。想法虽然简单，小学生往往想不到，要靠老师指点。挖掘九九表里的规律，把枯燥的死记硬背变成有趣的思考，不仅是教给学生学习方法，也是在渗透变量和函数的数学思想。
做除法要试商。80除以13，商是多少？试商5余15，不够；试商6余2，可以了。这里可以把余数看成是试商数的函数。试商的过程，就是调整函数的自变量，使函数值满足一定条件的过程。
小学数学里有很多应用题，解题的思想方法常常是因题而异。可不可以引导学生探索一下，用一个思想来解各种各样的题目呢？试商的思想，其实有普遍意义，可以用来求解许多不同类型的问题，包括应用问题，只要问题中的条件数据和解答之间有确定性的关系。
例如，修一条长32千米的公路，已经修了24千米，已修的路程是剩下的几倍？我们用类似试商的办法来试解。如果是1倍，剩下的是24千米，总长48千米，比题设数据大了；如果是2倍呢，剩下的是12千米，总长36千米，仍比题设数据大；3倍呢，剩下8千米，总长32千米，正好符合要求。
我想很多老师不会这样引导学生思考，认为这是个笨办法。其实，这个办法具有一般性，把试解的倍数看成自变量，把根据试解算出的总长看成试解倍数的函数，找寻使函数值符合题目要求的自变量，这个思路能解决很多问题，是“大智若愚”。
这样思考试算，最终也会发现具体的规律，列出通常的算式。
找寻使函数值符合一定要求的自变量，也就是解方程。方程本质上是函数的逆运算。加法看成函数，减法是解对应的方程；乘法看成函数，除法就是解对应的方程。
函数思想和方程的方法，是一个事物的两面，都是大智慧，贯穿数学的所有领域。

数学要研究的东西，基本上是数量关系和空间形式。当然，发展到今天，还要研究类似于数量关系的关系以及类似于空间形式的形式，甚至于一般关系的形式和一般形式的关系，等等。现在的课程标准把中小学数学分成了数与代数、空间与图形、统计与概率等几个模块。如何让这几块内容相互渗透、相互联系，是值得研究的问题。
提到数形结合，往往觉得是解析几何的事情。其实，数和形的联系，几乎处处都有。
在数学当中，几何具有非常重要的地位。几乎所有重要的数学概念，最初都是从几何中来的。所以有人说，几何是数学思想的摇篮。几何不仅是直观的图形，而且还需要推理，推理就要使用语言，所以几何的语言很重要。我们在教学或者编写教材的时候，往往是学数的时候就讲数，到了学几何的时候就讲几何，缺少把两者联系起来的意识。
例如，有一套教材开始就让学生玩积木，也就是认识立体图形。立体图形比平面图形更贴近生活，比数更贴近生活，是更基本的东西，这是教材的优点。但是，如果在玩积木时不仅让学生注意一块积木是方的、圆的、尖的，还让他们数一数某块积木有几个尖（顶点）、几个棱、几个面，就在学生头脑中播下形与数有联系的种子。
在认识数的时候，要举很多的例子，如一个苹果、一只小白兔等。我就想，在举例的时候能不能照顾到几何？比如学生在学习“1”的时候，就要学生用“1”来造句，书上可不可以有一些关于几何的句子？如“1个圆有1个圆心”、“1条线段有1个中点”、“1个正方形有1个中心”等。有的老师会说，这样不行，学生不能理解。我想，可以画图帮助学生理解，学生虽然不知道这些概念准确的含义，但看看图就有一个直观的、初始的印象。孩子学语言一开始不是通过理解，而是通过模仿开始的，如果在学数的时候，能举一些几何上的例子，这对他将来学习几何肯定会有帮助。同样，在学习“2”的时候，我们可以教学生说：“一条线段有两个端点。”不需要让学生知道什么是线段，只要画一条线段，指出两头是端点。到后来学几何知识时，回头一想，他会非常亲切，因为他早已经会说了。在学“3”的时候，可以画一个三角形，让学生说“三角形有3条边、3个顶点”；学“4”的时候，可以画一个正方形，让学生说“正方形有4条边、4个顶点”；学“5”的时候，可以画个五角星；认识“10”的时候，除了10个指头，不妨画一个完全五边形让学生数一数有几条线段（图1）；学到100以内的数，就可以告诉学生正方形的角是90度，等等。小孩子记忆力好，早点记一些东西，以后再慢慢理解。

图1

在中国古代的私塾里，学生入学后往往先让他们背几个月，甚至一年，然后才开讲。当然这种教育方式不能作为模式，但是也并非没有可取之处。学生已经会背了，再讲的时候，他印象就非常深刻了。我们讲建构主义，先要有信息进去才能建构，一个人闭目塞听，不和外界接触，是很难建构出东西来的。
总之，几何语言的早期渗透可不可能，值得研究。
形与数的结合，还提供了更多的数学之美的欣赏机会。关于数学的美，美国数学教育家克莱因有过这样的描述：“音乐能激发或抚慰情怀，绘画使人赏心悦目，诗歌能动人心弦，哲学使人获得智慧，科技可以改善物质生活，但数学却能提供以上一切。”怎样才能让学生逐步体会到数学的美呢？在小学阶段，可以先从几何图形上感知数学之美。现代信息技术提供了前所未有的可能。举个例子，这里有一些美丽的图案（图2）：

图2

你能想到，这些图案竟是同一种曲线的不同形态吗？
这条曲线其实很简单，如图3，用“超级画板”（注：该软件可以从网站http：ww.mathsedu.net免费下载。）软件画一个圆，圆上取3点A、B、C，在弦AB上取点C，再在线段CG上取点H，利用软件的轨迹作图功能，作出3点A、B、C在圆周上运动时点H的轨迹，并把3点运动速度的比值分别设置为k、m、n的整数部分，做出这3个参数的变量尺。只要调整3个参数和点G、H的位置，就能创造出成百上千种不同的图案。这样几分钟就能做出来的课件，让孩子们玩上几个星期都不会失去兴趣。在潜移默化之中，数学之美会渗入幼小的心灵。

图3

一位教师让她9岁半的孩子玩这类超级画板课件，孩子很快被超级画板所吸引。玩到第3天，就不想上网打游戏了。不到一个星期，就对超级画板上了瘾，很快学会了从屏幕上截取图片，把自己的作品保存起来。图4就是这个三年级学生的作品。他还根据自己的想象力给每个图案起了名字。

图4

数形结合的思想，不仅是上面这些简单的例子，下面还会谈到。

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张景中

小学里主要学计算，不讲推理。但是，计算和推理是相通的。
中国古代数学主要是找寻解决各类问题的计算方法，不像古希腊讲究推理论证。但是，计算要有方法，这方法里就体现了推理，即寓理于算的思想。
数学活动中的画图和推理，归根结底都是计算。推理是抽象的计算，计算是具体的推理，图形是推理和计算直观的模型。我们可以举些例子，让学生慢慢体会到所谓推理，本来是计算；到了熟能生巧的程度，计算过程可以省略了，还可以得到同样的结果，就成了推理了。有的人认为几何推理很难，学几何一定要先学实验几何。其实，实验和推理不一定要截然分开。早期学实验几何阶段可以推理，后期学会推理时也需要实验。所谓实验，无非是观察和计算。“对顶角相等”这样简单的几何命题，实际上就是通过一个算式证出来的，这里的推理证明就是计算。
要把计算提升为推理，就要用一般的文字代替特殊的数字，再用字母代替文字。不要怕让学生早点接触字母运算。讲到“长方形的面积＝长×宽”的时候，不妨告诉学生，这个公式可以用字母表示成M＝CXK。这里用了面积、长、宽的汉语拼音，学生很容易理解。再说明用别的字母也可以。
为什么说这样能把计算提升为推理呢？看一个简单的例子。设一个三角形a边上的高为h，而b边上的高为g，根据三角形面积公式，就知道a×h=b×g；如果 a=b，则h=g。这就推出了一条规律：如果三角形的两条边相等，则此两边上的高也相等。也就是证明了一条定理。这种证明方法比利用全等三角形简单明了。
我曾经在一张小学数学试卷上看到这样一道题：“正方形的面积是5平方分米，求这个正方形的内切圆的面积。”表面上看，这个问题小学生解决不了，因为要求圆的面积，一般要知道圆的半径，这题中就需要先知道正方形的边长，而正方形的面积是5平方分米，边长就是分米，小学生没有学过开方，似乎没有办法进行计算。而实际上，正方形的面积是它边长的平方，圆的面积用到的是半径的平方，并不一定要知道半径，知道半径的平方就行了，而此题中半径的平方是直径平方（即正方形面积）的四分之一，所以是能够解决的。但有很多学生解决不了，而告诉他们答案后，学生往往觉得非常简单。这是为什么呢？这就说明学生不能把计算转化为推理。引导学生认识计算和推理的关系，从计算发展到推理，是很重要的。这里有很值得研究的问题。

张景中

小学生学的是很初等的数学，但编教材和教学研究要有高观点。英国著名数学家阿蒂亚说过，“数学的目的，就是用简单而基本的词汇去尽可能地多解释世界”， “如果我们积累起来的经验要一代一代传下去，就必须不断努力把它们简化和统一”，“过去曾经使成年人困惑的问题，在以后的年代，连孩子们都容易理解”。这几句话，我觉得非常亲切，因为多年来我一直在想能不能把数学变简单一点，把难的变成容易的，把高等的变成初等的。我想，高等的与初等的数学之间，没有必然的鸿沟，主要看人们如何理解。把变量与函数的思想、形数结合的思想和寓理于算的思想结合起来，往往能够化难为易，化繁为简。
人们以前认为三角函数是非常难学的，是高等数学的内容。它既不是加减乘除，又不是开方，它是超越函数。在数学史上，函数这个词是和三角紧密联系在一起的。一次函数、二次函数都是算术运算的结果，就算没有函数的概念，学生也是比较容易理解的。三角函数则不然，一定要有“对应”的概念，函数的概念才说得清楚。有关三角的推导也是数学教学的难点。1974年，我在新疆教过中学，那时发现学生学习三角比较困难，就开始研究如何把三角变容易。在我写的一本书里（《平面三角解题新思路》，1997，中国少年儿童出版社）讲了这方面的具体想法。最近发现，三角不但可以变得很初等、很容易，而且可以成为初中数学的一条主线，把几何和代数联系在一起。我把这种思想写成一篇文章（《下放三角全局皆活》，《数学通报》，2007年1-2期）。张奠宙先生说，按我的这种思路，三角里的正弦函数，可以在小学里引进。如何引进呢？他把我提出的正弦函数的新的定义方法，作了生动、通俗而精彩的表述。下面这段文字引自他的文章：

图5

矩形用单位正方形去度量，结果得出长乘宽的面积公式。那么平行四边形的面积怎么求？自然是用单位菱形，同样可以得出平行四边形的面积是“两边长的乘积，再乘上单位菱形面积的因子”，原理完全相同。一个明显的事实是：单位正方形压扁了，成为单位菱形，两者的区别在于角A。A是直角，面积为1，A不是直角，面积就要打折扣。这个折扣是一个小数，和A有关，记作sinA（图5）。
张奠宙先生还说：“如果能从小学就学sinA，当然是一次解放。”
我们看到，数学可以有不同的讲法。看清了问题的实质，就能把难的变成容易的，把高等的变成初等的。就能把“过去曾经使成年人困惑的问题”，变得“孩子们都容易理解”。
不考虑矩形面积公式，不用单位菱形，也能在小学里讲正弦。怎么讲？先问，一个等腰直角三角形，如果腰长为1，面积是多少呢？学生容易回答，是0.5。进一步探索，如果这个等腰三角形的顶角不是90度，比如是60度，它的面积是多少呢？学生从图上会看到，90度变成60度，面积会变小，要打个折扣。多大的折扣呢？这可以从纸上测量出来一个近似值。老师进一步告诉大家，这个折扣的更精确的数值，可以在计算器或计算机上查出来，它叫做sin(60°)，约等于 0.8667，这就引进了正弦函数。知道了正弦函数，就能解决许多实际的几何问题。如果问，这个0.8667怎么得来的，就引出进一步的数学方法。这样不仅教给学生知识，更重要的是教他如何提问题、如何思考、如何获取新的知识。
这里，既有数形结合，又有寓理于算，还贯穿着变量和函数的思想。有些老师不是说缺少好的探索问题吗？这就是非常有意义的探索问题，它给学生留下很大的思考空间，会使学生长远获益。

陈省身先生说过，数学可以分为好的数学与不好的数学。好的数学指的是能发展的、能越来越深入、能被广泛应用、互相联系的数学；不好的数学是一些比较孤立的内容。他举例说，方程就是好的数学。
函数的思想、形数结合的思想、寓理于算的思想，都属于好的数学。这些思想是可以早期渗透的。早期渗透是引而不发，是通过具体问题来体现这些思想。比如引进了sinA，用这个概念解决几个看来很困难的问题（参看前引文章和书），学生会惊奇，为何能如此简捷地解决问题？学下去，过三年五年，他就体会到，是数学思想的力量。

（全文完）

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容我慢慢消化。

请先想一想，给几何中的“点”下一个定义？！



几何原本定义1：

点是没有部分的，A point is that which has no part.

进来慢慢学。

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超长文，先顶后看

如果苹果长在树上，没有掉下来，谁知道它有没有受力？一旦它掉下来了，力是肯定受的，力的方向也有了。如果有足够详尽的记录和分析，力的大小也有了。牛顿三大定律均建立于苹果从树上掉下来的这个过程中。张景中老师所说的函数思想，就是这种在动态的过程中把握规律的思想。

就拿题目来说，小学生们面对的题目通常都是静态的，有什么规律，谁也不知道，除非书上写了公式或者老师跟同学们说。可是，没有公式怎么办，书上没写、老师没说怎么办，同学们能发现规律吗？能发明公式吗？答案是肯定的。方法也不复杂，换一个角度去思考，例如猜猜猜，把静态的题目变成动态的过程，也许规律就很容易抓到了。

原题出自：http://www.llfxw.cn/article/sort031/sort041/info-1158.html
　　取一小段圆珠笔芯管，在中间垂直于轴线穿入一根缝衣针，在笔芯管的两端各插一只去掉头的铁钉，使钉尖朝外。再选两支小蜡烛（生日祝寿的）固定在笔芯管两端的针尖上。把这样的杠杆放在两只玻璃杯上，就成了一个跷跷板。

　　表演时，把两端的蜡烛点燃，你就可以看到这个带火苗的跷跷板往复地翘个不停。你能说明它的原理吗？
　　制这种跷跷板时，要选比较细的蜡烛，为什么要这样呢？

原题出自：http://www.llfxw.cn/article/sort031/sort041/info-1158.html
　　取一条约25厘米长的窄铁皮，两端向下弯折90°。在折边上拴两支长短不一的蜡烛。再把铁皮放在一个刀口支架上，调节刀口的位置，使铁皮水平，如图1．22－2所示。如果把两端的蜡烛点燃，并使两火焰的大小基本相同，想一想：在蜡烛燃烧的过程中，这个跷跷板是否能保持平衡？如果不平衡的话，哪一端翘起？

解题：

　　对于小学生而言，可能很少有同学了解杠杆原理。但是同学们肯定都玩过跷跷板吧。没玩过？那我没想到。要不到楼下找个翘翘板先玩一玩？

　　（此处等同学玩跷跷板、、、）

　　玩好了，那么该回来解题了吧。让我们假设，右边的蜡烛烧完了、、、啊，原图有点问题，还没烧完，蜡烛就掉下来了。那，我们改改，把弯折的部分做长一点，托在蜡烛底下，这下，能烧完了吧。其实，也不一定真的要去烧蜡烛，我们可以发挥想象力去想嘛。

　　右边的蜡烛烧完了，左边的蜡烛还没烧完，当然是右边翘起来，对不？

　　有人问：你说的函数很神秘的，听着就头疼，有必要给小学生讲那么复杂吗？
　　俺表示很不服气，这就是函数思想，且看证明。
　　跷跷板的平衡是因为力矩相等。
　　左边力矩的函数公式：l(z1, c1)
　　右边力矩的函数公式：l(z2, c2)
　　其中，l 代表力量，z代表重量，c代表长度。
　　在这个问题中，c1和c2都是不变的。在数学里，我们把这类不变的量称为常量。z1和z2随燃烧时间的延长而逐渐减少。在数学里，我们把这类变化的量称为变量。
　　根据我们玩跷跷板的体验，如下情况是成立的：
　　当z2 > 0时，l(z2, c2)> 0
　　当z2 = 0时，l(z2, c2)＝0
　　也就是说：
　　当右边蜡烛烧完以后，z2 = 0，l(z2, c2)＝0；而此时，z1 > 0，l(z1, c1)> 0。
　　
　　跟函数有关系吧！当然，俺不是说，要教给小学生这些，小学生可以体验其中的思想，而这些都是函数思想的表现形式而已，也就是“神马都是浮云”中的神马。

一个圆周被任意地分成2009段，甲乙2人轮流对他进行涂色，每人每次可以涂染一段或相连的2段，谁染完最后一段，谁就获胜。如果甲先开始涂，那么两人中谁能获胜？为什么？

玫瑰：这个问题里面，是不是个圆其实根本不重要，是吧？可以把它变成一条直线吗？
土豆：我猜，是不是圆，不重要。
玫瑰：想象一下，觉得和掰成直线没区别，
土豆：但是，有人说，未经证明的猜测是毫无意义的。不妨搁置下，一会再说。这样，确实可以降低难度。最后再证实好啦，先就想象成直线吧。
玫瑰：那就很清楚了，反正就是2009个线段，谁占到最后的谁就算赢，一次可拿一段或两段，轮流拿，甲先。
土豆：说到线段，也可以想象成一根超长的超细的油条
玫瑰：甲先
土豆：嗯
玫瑰：好像得分情况吧
土豆：怎么啦？
玫瑰：如果甲先拿了一个，乙也拿一个
土豆：还有2007口
玫瑰：边说边想啊。然后轮到甲拿，他拿一个乙就拿两个，他拿两个乙就拿一个、、、
土豆：嗯
玫瑰：然后，乙应该能拿到最后一个
土豆：不会吧，2009可不是3的倍数哦
玫瑰：现在，只剩2007了呀
土豆：哦，这个意思啊。对，这种情况下，甲一扫光，赢了。可是要是甲拿两个呢？
玫瑰：那乙就拿一个、、、等等，你说最开始的时候是吧？
土豆：第一次拿的时候。
玫瑰：这是另一种情况，我再想想啊。如果甲够聪明的话，他先拿两个，那么，按刚才乙的拿法，最终，甲赢。甲拿了两个，就只有2007个了。
土豆：对
玫瑰：然后，这回到乙拿了，乙拿一个，甲拿两个，乙拿两个，甲就拿一个，然后甲胜。
土豆：对
玫瑰：如果甲很笨的话，嘿嘿、、、哪谁更聪明点呢？
土豆：都聪明，有机会都能把握住
玫瑰：也就是谁都不会给谁机会，是吧？
土豆：当然。如果乙拿两个呢，也就是，甲拿2，乙拿2。
玫瑰：先想一下啊。现在剩2005个，轮到甲了
土豆：对
玫瑰：那么，甲拿一个的话，现在剩2004个，轮到乙拿，然后、、、这回应该是甲胜了吧？
土豆：有没觉得2009这个数字太大，很费力啊？
玫瑰：还好吧！反正中间都无视。
土豆：既然都无视了，何不干脆点、、、
玫瑰：好像，如果是3的倍数的话、、、
土豆：我们换个思路来试试。1段油条，怎么样？
玫瑰：甲先，赢了。然后呢？
土豆：1段，甲赢。2段，也是甲赢。3段呢？
玫瑰：不管甲拿多少，乙都可以把剩下的全拿光。
土豆：3段，乙赢。4段呢？
玫瑰：那甲先拿多少呢？
土豆：1段吧，试试。
玫瑰：如果两个都很聪明的话，那么这回是甲胜。
土豆：5段呢？甲拿2个吧
玫瑰：还是甲赢，只要剩下的是3，该谁拿，谁就输定了，先拿的吃亏呀。都可以变成只有3的情形，中间的都可以无视掉。
土豆：看起来，3 是 magic number。
玫瑰：嗯
土豆：6段呢？我想先猜猜。做了列表看看：
          1段，甲；
          2段，甲；
          3段，乙；
          4段，甲；
          5段，甲；
          6段，？
玫瑰：乙吧！
土豆：猜的哇？
玫瑰：每3段重复一次，好像有规律哦。
土豆：这就是函数思想，动态的考虑问题，威力无比
玫瑰：有点像那个什么挂灯笼，按什么颜色排，然后　问第N个是什么颜色。
土豆：几乎所有的排列组合都可以这样。
玫瑰：那的时候还要注意，如果不是3的倍数，那么把它变成3的倍数，然后，后拿的胜。
土豆：前几天，大学同学接了一道排列组合，我们一起研究的时候，也是这样从最简单的开始。
玫瑰：如果你不提示，我可能要多写几个才得到规律。甲甲乙，甲甲乙、、、3的倍数加1，3的倍数加2，3的倍数加3，很妙。
土豆：公式早忘了，其实，我们就是懒得背公式。忘了，还应该验证下，甜甜圈是不是一样？这样找规律，验证甜甜圈也方便的。
玫瑰：你们还用背什么公式，自己都能推出来。
土豆：都能推出来，最多提示一句，从最简单的开始，最好是等她们想得焦头烂额的时候，轻轻地，给个柳暗花明、、、俺好像有点变态哦。不过，研究问题，强烈的动机有助于更深入的思考。
玫瑰：那我刚才说第一种情况是乙胜，其实是特例啰？是建立在甲不够聪明的前提下的。好像也可以先画些图，或者拿些积木什么的。
土豆：就用巧克力棒，也行。哦，不太卫生，是吧？
玫瑰：不是非得吃嘛！如果不提示有可能无从下手哦。万一都坐那大眼瞪小眼呢？那么把数字弄小点？或者先不要给2009？
土豆：就给2009。我们的组员都习惯了，见到难题，先想想，无果，降低难度。还没有这个习惯的时候，当然要提醒下了。
玫瑰：那提示从1开始？这样可能很快就能找到规律。
土豆：降低难度，从最简单的开始，这些是重要的数学方法，要养成习惯。你就说，我笨，从1开始，好无啦？
玫瑰：先给1，然后是2，然后3，到了6估计就能看出名堂了。
土豆：没看出来，也不要紧，继续、、、总能看出来的。
玫瑰：前提得说两人都很聪明，还要看怎么记录。
土豆：你们小组里边两人，谁比谁笨多少啊？
玫瑰：都差不多吧。而且，都不太喜欢数学。
土豆：这道题，这么搞，不喜欢，难。

　　张老师讲要“寓理于算最容易被忽略”，老实说，刚开始看到，我不明白。小学数学，从大的来说，就是加减乘除四则运算，怎么算，不都是老师讲给我们听的吗？要不就是书上写明白的？这些可都是千千万万搞数学的人，或者说，人类生活实践的结晶，我们知道，记住了，拿来用，多省事啊，何必要研究什么道理？好吧，就算我们抛开这些问题不谈，加减乘除又有什么道理呢？我查查了，还真有，太复杂了，涉及到集合、顺序性等等。显然，这不是张老师要我们去给小学生讲的理，张老师的理应该是指小学生可以接受的理。问题又来了，小学生还在学四则运算，甚至还没学四则运算，没“理”可讲啊。就此，对张老师所说的理，仍然不解。

　　下面让我们看一段土豆与玫瑰的对话吧。

玫瑰：正在研究一道题，“在捐款活动中，五年级捐款120元，比四年级捐款的2倍少6，问四五年级共捐款多少？”
土豆：哦，做出来了吗？
玫瑰：儿子那个少6元加到120里，就成了一样了。然后除以二，他的答案是63。
土豆：嗯，好的。我算算：
　　    120＝四年级的两倍－6
玫瑰：好像觉得他的理解没有错呀。但是吃不准，上来问问。
土豆：我列的算式对吗？或者说 120比 126 少6，这句话对哇？
玫瑰：对。那他的理解把这个6加给五年级120,除以2就是四年级了呀，这个理解对吗？
土豆：我觉得是对的。是不是换了几次以后，有点吃不准了？
玫瑰：开始有两个答案，66或者63。
土豆：没关系。让我们试试，把原题里边那些内容代换成数字。
玫瑰：怎么代换成数字呀？
土豆：假设四年级捐款66元。
            五年级比四年级的两倍少6
            \__/     \___/
             120         66
玫瑰：那个两倍很很烦，能不能也换掉？
土豆：可以。
           五年级比四年级的两倍少6
            \__/     \_____/
             120          132
           这样的话，原题就变成了“120比132少6”。
玫瑰：这个答案肯定不对。
土豆：假设四年级捐款63元。
           五年级比四年级的两倍少6
           \__/     \_____/
             120          126
           这样的话，原题就变成了“120比126少6”，这个答案对吗？
玫瑰：对。但是，我还是吃不准，反着想，把那少6的五年级，给加上，不是四年级二倍和五年级一样多了呀
土豆：这个推理是正确的。但是，做为小学生，往往不能熟练运用推理，多推理几层，对大人来说很容易。对他们来说，则很危险。当然，我们不阻止他们推理，关键在于引导他们找到验证推理的方法。
玫瑰：学校里边一直在教树状图分析。
土豆：树状分析是不错，但是很比较死。一旦里边符号填错、数字填错、计算错误，几乎无法找出来。
玫瑰：可是，儿子已经习惯这样倒着想，我说不过他。
土豆：如果他确认这样是对的，也确实是对的，由他去好啦。
玫瑰：老师都是这么教的，就用逆推法。
土豆：除非，他吃不准了，问你，再说。
玫瑰：可同样的树状图，答案却不一样呀，这是啥道理呢？他这样问我，我说不来呀。
土豆：只要答案不一样，那就是碰到问题了。在树状图上是解决不了的，我研究过的。
玫瑰：那干嘛还教树状呢，搞脑子的。
土豆：这就像我们前两天研究的问题：
              3.  5
           +4.61
           -----
             7.66
玫瑰：额？不对啊。怎么可以这样做。上面的数应该是3.05吧？
土豆：可是，你说不出道理，这样做，错在哪里？
玫瑰：位数改变了啊?队伍排错了，肯定答案就错了
土豆：凭什么啊，你说错，就错啦？我在小数点和5之间放了一个空格，可以无啦？
玫瑰：不是要队伍对齐的吗？
土豆：我把两头都对齐啦。
玫瑰：空格插队了。那5就要比原先慢一拍了呀。
土豆：你不许空格插队，有什么道理吗？
玫瑰：那当然呀，都要有秩序的，没有秩序大家可以乱插队。如果可以乱插队，那就可以5.3+6.14喽。
土豆：我没乱来啊。只不过你按你的规则，我按我的规则。
玫瑰：“我在小数点和5之间放了一个空格”，这就是乱来啊！
土豆：我就这么做了，在我看来“3.5”和“3. 5”一样的啊。
玫瑰：真是不讲道理，插了队还说喜欢插队。
土豆：碰上轴人了吧。
玫瑰：要讲道理啊，只是我不知道怎么去讲这个道理。
土豆：其实是有道理的，只是我们抽象地去讲规则和形式讲不出个所以然来。
玫瑰：不过，这样顶真也挺好玩的。特别对小孩子来说，提高他们的兴趣。
土豆：假设我把这两个数字换成钱，像这样：
              元 角 分
               3.5
           +  4.6  1
           --------
           这样，是不是就一目了然了？
玫瑰：换成钱，你那个空格就自然消失了！
土豆：总不能把5角写到分上去吧。
玫瑰：是的。你还像原来乱写，小朋友都会急的。
土豆：为什么他会急？因为那种错误竖式，跟他们的生活体验是完全矛盾的。
玫瑰：看来这编故事讲数学还有点用处哦。
土豆：可能在“3.5 + 4.61”这样的小题上讲道理，有点过份。但是，我们在小题上讲道理，尤其是开始的时候讲道理，才能养成讲理的习惯，也能逐渐地迈向复杂的推理。
玫瑰：用钱的概念最好理解，这个太具体了。
土豆：说回前面那道题，我们一直化简到 “120 比 126 少 6”，这个大家就不会有异议了
玫瑰：恩。明天，就拿出人民币来做试验，跟儿子讲。呵呵，好像这么简单的题目都搞得复杂化了。
土豆：开头的时候，比较艰难、费时、、、
玫瑰：但能找到一个让他们更理解得透的方法就是成功的。
土豆：我觉得，对每一个最基本的规则都不能简单用“大家记住啊，应该这么算！”，来把孩子给打发了。
           如果我们学会用编故事的方法，把计算跟实际的体验结合在一起，就能解决很多全新的问题。
           比如，1/2 + 1/2 为什么不能算成(1 + 1)/(2+2)
           像这样的算法，不需要我们说了，他们自己就能发现错误了。
玫瑰：这个怎么引导呢？
土豆：当吃不准哪个答案，哪个算法对的时候，就想法从实际生活中去寻找答案
玫瑰：言之极是。

玫瑰：问个数学题？
土豆：嗯
玫瑰：81+9/9=?
土豆：哦，怎么啦？
玫瑰：昨天去学校，看到儿子的一张练习卷上有这么一道题。
土豆：是不是算成 (81+9)/9 了？
玫瑰：结果等于10，哭。我再想，怎么跟他沟通一下？讲讲四则运算的规则。
土豆：那就轴一会吧！
玫瑰：怎么轴啊？这道题下面有一道差不多的题目，他做对了，可是这道题却、、、比较郁闷。
土豆：俺表示，同意童鞋的做法，81 +9/9 就应该算成 (81+9)/9
玫瑰：啊！！！！
土豆：我现在就轴给你看看。你觉得 81+9/9 应该算成 81+1，我觉得就应该算成 (81+9)/9 。
玫瑰：应该先乘除后加减啊！童鞋也会这么说。
土豆：可是，这些都是形式上的规则而已。
玫瑰：哦，这么说，还有本质？
土豆：有的，本质要落实到“理”。
玫瑰：可是，二年级小朋友，对“理”还缺乏认识吧？
土豆：是的，他们缺乏理的支撑。但“理”还得讲。怎么办呢？退而求其次，把本质落实到生活体验和经验中吧。
玫瑰：我原本以为四则运算是3、4年级教的，所以也没排上家庭教学日程。本来想，只是一道题的错误，同类的题也做对的，会不会就是孩子一时大意造成的呢？
土豆：这是个问题。
玫瑰：后来我想，其实不是担心他做错，而是觉得应该安排一次数学讨论，专门关于四则运算的。
土豆：哦。
玫瑰：原本打算3、4年级再搞。
土豆：四则运算确实是在三四年级教的。
玫瑰：正在犹豫中，突然发现二年级已经在做这些题目了。还有“54/6 - 54/9 = ？”，类似的问题，我都抄下来了。
土豆：但是，三四年级教的时候，需要二年级的做基础啊。放在三四年级教，是因为那时，已经有了足够的体验基础了。但如果我们在二年级不去讲那个“理”，到了三四年级就只能被动的接受规则了。
玫瑰：那么，该如何讨论这个“理”呢？
土豆：在没有学过规则的情况下，确实无法用理去判断计算的正误，唯一的办法就是先让同学把算式编成具体的故事。在故事中，去体会正误。
玫瑰：嗯。
土豆：在小学期间，要经常编故事。有趣，又可以理解其中的道理。
玫瑰：9/9，有啥好故事？分苹果？
土豆：就针对 “81+9/9”编故事吧。
玫瑰：关键要体现出+和/的顺序，但是，我没想出什么好故事。
土豆：我已经有81颗糖了，老师带了9颗糖，分开我们小组里边的9个人，问我现在有几颗糖？
          我已经有81颗糖了，老师带了9颗糖，平分给我们小组里边的9个人，问我现在有几颗糖？
          我已经有81颗糖了。老师又带了9颗糖，平分给我们小组里边的9个人，问我现在有几颗糖？
玫瑰：“(81 + 9)/9”呢？
土豆：我已经有81颗糖了，老师又给了我9颗糖。我把这些糖平分给我们小组里边的9个人，问我现在有几颗糖？
玫瑰：这两个故事的就体现出两个算式之间的差别了。
土豆：在故事中，甚至有更复杂的四则运算，也可以理解出来。
          例如，(81 + 9)/9=81/9 + 9/9
玫瑰：嗯。找时间和儿子“踹”一把。

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玫瑰：刚看到你们在讨论四则运算怎么编故事？
土豆：是的。
玫瑰：我已经有81颗糖了。老师又带了9颗糖，平分给我们小组里边的9个人，问我现在有几颗糖？
          81+9/9
          我已经有81颗糖了，老师又给了我9颗糖。我把这些糖平分给我们小组里边的9个人，问我现在有几颗糖？
          (81 + 9)/9=?
土豆：就是这个故事。
玫瑰：说到编这个故事,打死我都不相信,我家的都四年级了,居然都不会编故事！
土豆：作文也不会写？应用题也不会？
玫瑰：作文是另一回事，就这个数学故事，不会编。
土豆：也可以说，编故事就是反做应用题呀，把算式换成应用题。
玫瑰：是啊，想不到吧，居然这都不会。我也不会，所以，看来我家的小朋友不会是应该的。
土豆：哈哈。要不，先从简单地编起，有时候讲的太难了，孩子不会的。我们可是从二年级就开始编的。
玫瑰：土豆的本事在于一会儿就能编出恰到好处的故事来。
土豆：也不是啦。那时才二年级，还比较简单。当然，我是老爸，肯定不能要求孩子和我一样。
玫瑰：像这样一道题，“(92+25*21)*9”,你猜她怎么编的?
土豆：怎么编的？
玫瑰：哭死我了。她说:有一天,92出去玩,远远看到25在叫它,等等我,我和你一起去,就在这时,21突然跑出来拉着25,我和你一起去,于是,它们集合到一起,出去玩了,后来,9看到了,9说:我也要和你们一起去。
土豆：哈哈。你们家的作文一定不错，很好的一篇童话故事，有动作，有对话，有画面感。但是，那不是数学故事啊。看起来，数学的思维也需要逐步建立。
玫瑰：反正，我没想过她居然不会编。
土豆：不对。大概是孩子没理解你的要求吧。学校里，都没学过如何编数学故事，孩子不理解吧。
玫瑰：原来没编过，这是第一次。
土豆：在二年级的时候，我们编过这样的题目：
          12 - (3 - 1)= 12 - 3 + 1
          编成故事：
          我有12颗糖，妈妈拿走三颗，又换给我一颗，问还剩几颗糖？原来有12。妈妈拿走3，还回1，实际上只拿了2。
          列算式：12 - (3 - 1)。
玫瑰：这么简单的事,都没想过要去教她。
土豆：又比如，(92+25*21)*9
          编成故事：
          班级里原有92朵小红花，老师又拿来25个盒子，每个盒子里有21朵小红花，一共有9个这样的班级，请问共有多少小红花？
玫瑰：真不错。
土豆：四则运算规则是长期操作加减乘除以后，对规律的一种总结。即使不教，童鞋们做运算多了，也可能会产生对四则运算的想象和理解。问题在于，他们如何来判断自己的想象和理解是否正确？
玫瑰：哭，我到现在还是记规则的，“先乘除后加减”什么的，从未考虑过其中包含着啥。
土豆：在跟儿子学小学数学之前，我也是这样的。看来，我们都被教坏了。
玫瑰：是啊，认识到自己的缺点，所以，特别不希望小童鞋们能够再走我走过的路。
土豆：应用题可以是一种验证规则的方法，因为它基于我们的生活体验。也可以这么说，以应用题的方式去理解，四则运算的法则就水到渠成了。
玫瑰：重新编了一个故事:
          有人要给我们两幢楼的人发苹果,我们楼有92个人,隔壁楼呢有25层,每层21人,如果每人发9个苹果,一共得准备多少个苹果?
土豆：这样编的话,就是拆括号也容易理解了。
玫瑰：所谓“编故事”，就是帮助孩子理解算式吧？
土豆：灰常正确，张老师说的，寓算于理。
玫瑰：就目前说，对理解运算的先后顺序方面尤其有用。只要理解了，以后就不需要每道题都这么搞了吧？
土豆：不需要啦，算是辅助吧。
玫瑰：否则，真累死人哦。
土豆：开始的时候，爸爸妈妈要累一点，养成习惯了，童鞋自己就会主动去做，那时，爸爸妈妈哼哼哈哈表示在听就可以了。
玫瑰：后来跟她说了这个故事,她说“嗯,以后应该都不会忘记了”。
土豆：针对不同的问题还可以编不同的故事，侧重点可以不同。

玫瑰：来了，今天忙了一天。功课还没做过，今天聊啥了，各位？
土豆：编故事，寓理于算 。
玫瑰：哪道题目？
土豆：81 + 9/9应该算成(81+9)/9还是81+(9/9) ？
玫瑰：当然后者咯，晚上问问儿子 。
土豆：“当然”是根据什么啦？
          A、老师说的；B、书上说的；C、我猜的；D、以上都不是
玫瑰：应该选B。肯定是81+(9/9)。
土豆：四年级啦，要开始讲理了。有些孩子已经逆反了，不接受你所谓的“肯定”了。
玫瑰：我家的就有逆反。
土豆：那怎么办？把他的刺头都拔掉？
玫瑰：那我不干，拔掉刺头就不是男人了。
土豆：假设我是同学，对你说的“81+(9/9)”抱有异议，你怎么来说服我呢？
玫瑰：只能说，我的老师是这样教我的。这样，没法说服吧。
土豆：因为老师说的，因为书上写的，所以，它就是对的。这只不过是要求童鞋服从权威而已。
玫瑰：那怎么办呢？让他错？
土豆：不能让他继续错，我现在采用的方法就是编故事，想办法让他把算式跟他自己的生活体验联系在一起。
玫瑰：那时，这些已经被认证过了，所以，我们只要用结果就行了。
土豆：没错，这些结果确实被验证过了。但记住这些结果有什么意义呢？
玫瑰：我让儿子编过故事，我觉得，儿子昨天编的很傻的。
土豆：这样说他不好，要多鼓励。
玫瑰：我只是心里这么觉得？
土豆：毕竟原来没编过数学故事嘛。
玫瑰：我觉得，要鼓励他编故事，同时又觉得编的很傻 ，是不是有些虚伪。
土豆：那么，你也编一个，跟他编的比较嘛。也可以鼓励他再编一个，多编几个，比较哪个更好。相信他们，他们会学习的。
玫瑰：是的，我相信，所以我现在不要求很高，错就错，有空就提个醒。等他长大了，就没问题了。
土豆：慢慢来吧。
玫瑰：昨天是我先编故事，然后他依样画葫芦。
土豆：嗯。是不是你没有编好啦？
玫瑰：我就是觉得，我编得也很傻的。
土豆：那你还说别人，眼高手低哦。
玫瑰：故事平淡如水。老实说，我还没理解编故事的好处。
土豆：重要的是编故事的过程。他要编的合理，说得通，又要能反映算式的实质。这个过程里边，理就在于其中了。
玫瑰：容我慢慢体会、、、那他要是也说我刚才的话呢？比如“老师就这样教的”？如果我再追问，他就肯定急了。
土豆：像“3.5 + 4.61”，能编出故事来，小数点加法，想出问题都难。
          儿子用同样的问题回答过我，我说：你就把我当成你们班上最笨的孩子，啥都没学过，你来教会我啊。
          于是，儿子来当老师，教到后面，一个劲儿的感叹：我没法教你，你实在是太笨了。
玫瑰：现在，至少儿子现在对数学也有兴趣了，因为会看我们谈到的题目。我家不会这样说，会发脾气。
土豆：不带急眼的，只能说，那是老师教的不好。
玫瑰：你叫他多说几遍就急眼了。
土豆：那就再换一下角色，你当老师，他扮学生。
玫瑰：他做老师，我多问几个为什么，他急。我做老师，他多问几个为什么，我急。
土豆：不是一家人，不进一家门。看来，我们自己要先注意。关键是大家都要讲理，都服从理。
玫瑰：嗯，自我做起。
土豆：你讲故事，讲好了，他服了。下次轮到他，他也会这么干。
玫瑰：你说，现在家长都累得慌吧！
土豆：这个没办法的。教育体制的问题，我们又改不了的，只能折腾自己了。不过，小学的同学还是喜欢跟BBMM这么折腾的。

ccpaging：多吃了一个“屁”
    闲来无事，给儿子出一道题目：   
    中午小莉吃了1碗饭，小明吃了2碗饭，小明吃饭的时候放了一个屁，同学们都听见了。请问，小明今天一共吃了几碗饭？   

007：少吃了一碗饭
    “根据已知数字列出算式”：   
    2-1=1   
    答：小明今天一共吃了1碗饭。   
    解释：小明是出屁，不是吃屁。所以ccpaging同学用加法解题不对，应该用减法。

007：一个“屁”引发的数学探究和班级惨案
    ccpaging这道题引起了全班同学（共 43 人）的兴趣。小鑫说：要回答这个问题必须说清楚小明今天早上吃了几碗饭，还要看今天晚上他会吃几碗饭。另外，还要加上1，因为他吃了我的一个屁。小明 说：我没有吃，我只是听见你放了一个屁。小莉说：就算小明吃了小鑫放的屁，这个屁也不一定够一碗……激烈的讨论引起了数学老师的注意。仔细一听，勃然大 怒：你们这班小屁孩，怎么这么庸俗，竟然在课堂上讨论什么放屁、吃屁。你们再说这么恶心的事，我就让你们去吃屎！数学老师还向班主任告状，结果全班同学又 挨了班主任老师一顿臭骂。   
    请问：全班同学因为此事一共挨了老师几顿骂？

007：两个答案，哪个对？
    第一解：   
    1+1=2（顿）   
    答：全班同学因为这件事一共挨了老师2 顿骂。   
    第二解：   
     （1+1）×43=86（顿）   
    答：全班同学因为这件事一共挨了老师86顿骂。   

ccpaging：是不是过份了？总觉得数学是高雅的活动。

007：“屁题”并非杜撰胡诌，问题也不简单
    周末带儿子去游泳，同去还有一位同学。两个小家伙在更衣室里打闹，说着屁啊大便之类的恶俗粗话。不由想起ccpaging和我在上面编的“屁题”，就让两个三年级生试做，免得孩子在公共场所扯淡，让我脸面没处搁。   
    儿子说：全班同学一共挨了老师2顿骂。   
    儿子的同学说：全班同学一共挨了老师86顿骂。   
    两个小家伙争了起来。儿子说：题目问的是全班同学挨几顿骂，应该把全班同学当作一个整体来算，所以应该做加法，1加1等于2.   
    他同学说：题目不是问老师骂了几回，问的是全班所有的人一共挨了几顿骂。43个同学都挨了老师2回骂，所以应该做乘法，2乘43等于86.   
    有意思吧？！我再把情境复杂化，对两人说：班主任进一步追查，查出这件事是由ccpaging同学挑起的 ，又把ccpaging同学给狠狠地骂了一顿。请问，全班同学总共挨了几顿骂？   
    儿子同学说：87顿。   
    儿子说：3顿。   
    我质疑：你不是说应该把全班同学当作一个整体来算吗？老师最后一次骂的不是全班同学，而只是骂了一个同学。如果照你原来的说法，全班同学应该还是一共挨了老师2顿骂。   
    儿子反驳说：这个同学是这个班的，他多挨了一回骂，就表示全班同学总共又多挨了一顿骂。   
    他同学进一步反驳说：你这样算，就是在算每个同学挨几回骂，然后加起来算总数，所以我算的87才是正确答案。   
    我也陷入了争论，说不清楚谁对谁错了。ccpaging同学，你给评评理吧！  

ccpaging：个人浅见，供参考  
    1个屁 + 1碗饭 != 2碗饭 != 2个屁   
    备注："!="在计算机上表示不等于。   
    1(次全班挨骂) + 1(次全班挨骂) = 2（次全班挨骂）   
    1(ccpaging挨骂) + 2(次全班挨骂) 又等于多少呢？   
    （1班次+1班次）×43人/班=86（人次）   
    86人次 + 1人次 = 87人次

    搞数学人对等号是很崇拜的，除了学过的等于、大于等于、小于、等于，以后会学到恒等于，约等于、、、
    算式里边等于算是数学里边非常重要的符号了，可是等于还有更进一步的意义， 那就是等式里边的每一个数字，它所代表的实际意义，是否是对等的。就像我们常说的：   
    1个罗卜 + 1个苹果 != 2个苹果 != 2个罗卜   
    如果单独看算式：   
    1+1 = 2   
    肯定是正确，可是如果他们代表的东西不同，这个等式就不成立了。   
    由此可证：   
    1(ccpaging挨骂) + 2(次全班挨骂) ！= 3（次全班挨骂）   
    因为：   
    1(ccpaging挨骂) != 1(次全班挨骂)   

    如儿子所说：“题目问的是挨几顿骂，没有问挨了几人次骂”，这里边有一点没有讲清楚，就是“谁”挨了几顿骂，是按“全班”还是按“个人”来计算，范围不同，计算的方法个结果就不同。例如：   
    1个袋子里边装10个苹果，1（袋苹果）+1（个苹果）是多少呢？   
    一种算法是都换成统一的单位-“个”，1（袋苹果）+1（个苹果） = 11个苹果  
    另一个算法是都换成统一的单位-“袋”，1（袋苹果）+1（个苹果） = 1.1袋苹果   
    不管怎么算，结果肯定不会是2袋苹果，或者 2个苹果。   

    在以后的统计学里边，有一个专门的名称叫“统计口径”，哲学上，这叫“范畴”。BMM们能看到统计局那帮人，可以在肉价、房价一涨再涨的情况 下，仍然振振有词的宣布CPI增加的不多，其实就是玩的这个“口径”。另外，就一个 “CPI增速放缓”也够蒙人的，那可不是说CPI不增加了，而是说“增加的速度"放慢了，也就是说，原来猪肉10元钱一斤，过一个月14元一斤，再过一个月16元一斤，如此“增速放缓”，只不过是无聊的概念游戏。   
    总的说来，很多等式和不等式在现实中是被重重迷雾所包裹的，真相隐藏在假象后面，不像(1+1=2)这么一目了然了。当我们发现矛盾的时候，要紧抓住不放，寻找到问题的实质，才可能拨开云雾见青天。   
     这其实也是我们学习数学的重要意义，也是数学能够影响于数学之外的作用，与语文相对于提高个人修养的作用一样，也许正是学习数学的这些作用，使我们要在小学就开始学习数。   

007：玩统计口径要从娃娃抓起：1只苹果+1只芒果=2只水果果
    1个罗卜 + 1个苹果确实既不等于 2个苹果，也不等于 2个罗卜。但我家 儿子强，小学一年级时居然能够做出类似的题目。   
    问：一只苹果加一只芒果等于多少？   
    儿答：两只水果。   
    我跟他搞：噢，原来1+1=2，苹+芒=水，所以，1只苹果+1只芒果=2只水果。
    不对呀，你漏加了一个“果”。应该等于“2只水果果”。   
    儿子急了：不是这个意思。老师说，相同的东西的才能相加减。它们虽然不是同一种水果，但都是水果。如果算水果有多少，是可以把它们加起来算的。   
    儿子小小年纪也会玩“统计口径”！看来，这不是统计局那帮人的专利。   

007：绝非无意义的屁题  
    但我还是没法跟孩子说清楚 。他们虽然到了三年级，屁题中的“人次”这个概念，理解起来还有困难。而且他们说：题目问的是挨几顿骂，没有问挨了几人次骂。他们认为我这样的解释是答非所问。   
    不过没有关系，重要的不是一定要解决这个问题，而是让孩子重视数字、算式所代表的实际意义，学会把抽象的数学问题变成生活中的问题，还有就是让孩子体会数学的有趣、数学的灵气，破除孩子对书和权威的迷信，培养孩子的批判意识。   
     孩子带着满脑子有待他思索和解决的数学问题长大，学习不主动也难。

看了这个帖子“数形结合”的部分,觉得很不错，于是和儿子聊了聊。

我：扬，问你个问题：1个圆有几个圆心?
扬: 1个.
我：1条线段有几个中点?
扬: 1个.
我：现在很难的问题来了:长方形有几条对角线?
扬: 什么叫对角线?
我拿过写字板,画了一个长方形,正准备解释.
扬: 我知道了,是不是这样?
扬用手比划了一下.
我：恭喜你答对了.你画一下吧,有几条对角线?
扬画好了:2条
我又画了一个5边形: 画一下,有几条对角线?
扬画好了:5条
我：我们再来看看6边形有几条对角线.
扬: 我会画6边形.
扬画了一个6边形,不过有点小,再画上对角线以后,很难数清有几条对角线.
我：既然数不清楚,那我们就算一下有几条对角线吧.
扬: 怎么算?
我：你想想
扬:  想不出.
我：我有个办法,你看看有没有道理?
我：我们给多边形添上对角线以后,其实就等于把所有的顶点都两两连了起来,对不对?
扬: 对
我：那我们只要算出来,把所有的顶点两两连起来一共有多少条线,再减去边数,是不是就能算出对角线的数目?
扬: 对
我：那我们来验证一下吧
我画了一个三角形: 一共3条线,没有对角线.
我又画了一个4边形:一共6条线,2条对角线.
我又画了一个5边形:一共10条线,5条对角线.
扬: 我知道了, 6边形有9条对角线
我：你怎么算的?
扬: 三角形有2+1=3条线,4边形有3+2+1=6条线,5边形有4+3+2+1=10条线, 6边形有5+4+3+2+1=15条线, 15-6=9,所以6边形有9条对角线.
我：你怎么知道一共有5+4+3+2+1条线?
扬: 那个<<卡通奥数快乐学>>上面讲过,所以知道.

回复 #20 ccpaging 的帖子

ccpaging：John加一泡屎

“32个人，每条船坐6个人，需要几条船？”

小二学余数后又出了这道题。原来学乘法的时候做过，本以为十拿九稳，结果又出妖了。儿子是这么做的：
32 / 6 = 5 (条)... 2
2 + 1 = 3(条)
共需要3条船。

问：2 + 1是怎么来的？
答：2人加一条船。
问：那你作图计算吧。
答：（画出图），应该是6条船。
问：你知道问题出在哪里了吗？
答：应该是2人加一条船这句话写出的算式不对。可是”2人加一条船“不就是2 + 1吗？为什么不对
（脑子别筋了，只能继续举例说明了）
问：John早上拉了一泡屎，也就是John加一泡屎。按你的算法，那就是：1+1=2。如果结果是2泡屎，那么反算回来 John = 一泡屎；如果是2个John，那么反算回来 一泡屎 = John。
答：”John加一泡屎“还是”John加一泡屎“。
问：”2人加一条船“还是”2人加一条船“。
答：我想把”2人加一条船“写成算式的，所以错了。
问：写算式不能硬来的，搞野蛮操作不行啊，否则，你立刻就变成”一泡屎“了。
答：正确答案应该是：
32 / 6 = 5 (条)... 2(人)
余2人需要增加一条船
5 + 1 = 6(条)
共需要6条船。

分析：原来做乘法的时候，是用具体的事物来想象，没有出错。这次出错的关键在于，儿子尝试用数学公式来表达思想时，出错了。“2人加一条船” 不等于 “2 + 1”，这个问题前面已经讨论过很多次。不过这是具象到抽象的关键点，一个人如果想把数学学到骨子里，必须要突破这一点。看来还要搞很多次，经常搞才行。

有你乐无穷：
这样子的例子特别受男孩子们欢迎，很能提神醒脑滴。

ccpaging：爸爸和孩子之间不可告人的黑话

BB跟儿子的语言，嘿嘿。MM们肯定要变化一下啦。防止懒妈妈照本宣科。

BB跟儿子的为什么要专门的语言？

儿子降生下来以后，一直是MM和MM的MM们抱着。那时我在想，孩子还不能说话，正是“有奶就是娘的时候”，有什么办法能让孩子认识到，他其实还有一个BB在边上呢？后来在摇篮网上跟其它的BB交流，大家想出一个办法，MM都是面对面抱儿子，儿子看到是他们的MM，BB就反其道而行之，让孩子坐在BB的手臂上，面朝外，斜靠在爸爸的身上，这个时候儿子看到的是一个世界。于是只要BB抱儿子，儿子立刻就能感觉到不同，意识到BB的存在。等到了一岁多两岁的时候，儿子就可以骑坐在爸爸的脖颈上，坐在爸爸的肩膀上，他看到的是一个更广阔的世界，这个时候儿子总是特别兴奋，有点害怕，紧紧的抱住BB的头，同时有充满好奇的四处张望。

现在儿子长大了，但是又还没有长的足够大，大到可以独立地面对这个世界。在我们家，MM总是让儿子感觉到那些世界上好的东西，博爱、感动、对美的追求，而BB则是让儿子感觉到这个世界上，还存在着自私、理智、冷酷、还有粗俗。

“儿子，你准备好了吗？”

hxy007：不小心把数学弄脏了
　　俺也俗人一个，有时会跟儿子说屎呀尿的。除了有类似ccpaging的考虑之外，还有更深层的原因。
　　孩子对屎尿感兴趣，反映的是潜意识里对性的兴趣。按照精神分析学派的理论，儿童的性心理会经历一个从“口腔期”到“肛门期”到“性蕾期”到“潜伏期”到“生殖期”的发展过程。对屎尿感兴趣，是“肛门期”的典型特征。如果不加抑制，这种兴趣在过了“肛门期”之后还会不时出现。在文明社会，由于各种文雅习俗的调节，孩子的这种兴趣会逐渐消退。但是，如果孩子对屎尿的有兴趣时，用各种方法不断地让他为此感到羞愧的话，他就会在心里埋下“性和快感是肮脏的、可耻的”阴影，拼命地压抑自己。“超我”就是以类似的方式形成的。
　　尼尔在《夏山学校》里说得非常精彩：自由的儿童对大便的兴趣，会随着年龄的增长、兴趣的转移而逐渐消退；不自由的儿童虽然口头上不说大便了，但满脑子都是“大便”（脏东西）。因此，如果孩子想说大便之类的话，不要阻止他，让他说个够，甚至和他一起说，直到一天他会白你一眼“你怎么还在说大便？”这个时候，孩子就摆脱了“肛门期”的情结，而且他因为未受过度压抑而不会觉得大便、肛门、性、快感是肮脏的、可耻的东西。
　　俺受到文明的压抑，所以会觉得别人的大便脏。好在俺不会觉得自己孩子的大便脏，甚至不会觉得别人家孩子的大便脏，俺的孩子也不觉得大便是脏的。所以，俺觉得自己可以和孩子谈论“屎尿”。
　　有一回，儿子跟几个小朋友又在偷偷地拿大便的话题取乐，不知什么原因还议论起什么叫“最倒霉”。俺就跟他们说了一个我中学时在公厕里听来的恶俗笑话：一天，有个人解完大便，擦屁股时不小心把纸弄破了，手指碰到了大便。他赶紧一甩手，那只碰了大便的手指狠狠甩在墙上，痛得他直咧嘴。他赶紧把碰痛的手指塞进嘴里，含了起来……这就叫“倒霉”，而且是“最倒霉”！孩子们听了笑倒在地。
　　这个笑话在这个情境中使用有许多功能：第一，生动地解释了“倒霉”；第二，孩子会觉得可以和老爸无话不谈；第三，见老爸也说大便，孩子就能够释然，不再在这个话题上有羞耻感、罪恶感。
　　哎哟，这是个数学帖。怎么谈起大便来了，弄脏了这庄严、神圣、纯洁的数学。罪过！罪过！