小学四年级放飞（机械算法不是万能的）

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4.8 ÷ 100 = ?

父：看到这道题，你脑子里想的是什么？
子：4.8 被分成 100份。
父：4.8 怎么能被分成 100份呢？
子：、、、
父：难道我们在纸上写上数字 4.8，然后把这张纸撕成100份吗？
子：、、、
父：问题在于 4.8 只是个抽象的数字而已，它没法被分成100份。
子：教科书上说，除以100，就是把小数点向左移两位。
父：你能确认是向左移两位，而不是向右吗？
子：我经常搞错左右。
父：说老实话，到现在我也记不清楚。
子：那怎么办？
父：刚开始学小数点乘法和除法的时候，就一定要搞清楚。
子：可是，你不是说，没法分吗？
父：是啊，抽象的数字当然没法分。但我们可以把它变成可以分的。
子：我知道了，4.8可以看成是4.8米。
父：你试试看。
子：4.8m ÷ 100 = 48dm ÷ 100
父：还有小数，我还分不了。
子：4.8m ÷ 100 = 48dm ÷ 100 ＝ 480cm ÷ 100
父：还有小数，我还分不了。
子：4.8m ÷ 100 = 48dm ÷ 100 ＝ 480cm ÷ 100 ＝ 4800mm ÷ 100
父：这个我会的，4800 ÷ 100 = 48，结果是48。
子：不对，是 48mm。
父：噢，还要换成米，是吧？
子：48mm = 4.8cm = 0.48dm = 0.048m
父：对了。这一路算过来，都是用你们已经学到的知识，对不对？
子：是的，就是单位换算。
父：好，我们在看看教科书上说的，除以100小数点向左移两位对不对呢？
子：4.8m被换成4800mm的时候，小数点向右移了三位。
父：48mm 被换成 0.048m的时候，小数电向左移了三位。
子：那不是等于没移位吗？
父：那是因为你没有注意到算式，4800÷100=48，在这个算式里边小数点向左移动了两位。
子：原来是这样啊。所以，4.8÷100=0.048，小数点向左移动了两位。
父：是的。
子：可是，老师只讲了移动小数点啊、、、
父：老师要针对所有的同学，有的同学接受不了这么麻烦的过程，所以，老师让他们记住。
子：上课的时候，我怀疑过的。
父：你跟老师提过么？比如说，为什么除以100小数点左移两位？
子：没提过。
父：想过自己去证实吗？
子：没有。
父：跟同学讨论过吗？
子：没有。
父：怀疑是好的，数学家笛卡尔就提倡怀疑一切。可是，只有怀疑也没什么意义。
子：那怎么办呢？
父：上课先认真听，认真想。如果怀疑，还可以向老师提出来。如果上课不方便提，就下课提。跟同学讨论，也可以的。回家来，跟我讨论，也行。

一个三位小数，用“四舍五入”法凑整得到 2.10，则这个三位小数最大是(   )，最小是(     )。

Alex 的错误答案是 2.004 和 1.95。

父：你是怎么想到这两个答案的？
子：我瞎猜的。
父：噢，瞎猜也不错啊，不束手无策好。可是，至少我们应该验证下吧？你验证了吗？
子：当时我没有验证。
父：那，现在来验证吧！
子：2.004 四舍五入 是 2.00，1.95 四舍五入是 2.0，结果也不对。
父：猜错了。这也是正常的，不会做嘛，瞎猜，要是一猜就中，那运气就太好了。下一步，怎么办呢？
子：再猜。
父：那你们在学校里边是怎么做的呢？
子：有公式的。问“四舍五入”的最大小数，在数字后面加4，最小小数、、、
父：又是记公式啊。
子：我也不喜欢公式。正确答案应该是2.104和2.095。
父：没劲，还是你来继续猜吧。

于是，Alex 一边猜一边说，故意绕开正确答案。时间长了，我有点烦了，说：
你这样猜，感觉有点乱。先别猜了，我现在有点烦，看见你卷子上的这个成绩，心里乱。要不你先自己研究一会，等有了眉目再说。

过了大约十分钟，Alex 来找我。
父：那你说说看吧。
子：先猜最大数，原数是2.10，所以我们从2.101开始。
父：为什么？
子：因为四舍五入的最大数肯定比原数大。
父：噢，继续。

Alex列了表格：
2.104 OK
2.103 OK
2.102 OK
2.101 OK
2.10

所以，2.104就是答案。

父：不对啊，2.104可以用，但不一定是最大的。
子：噢，那是因为 2.105 “四舍五入”的结果不是2.10。
父：对，这就叫“不撞南墙不回头”。

最大值会算了，最小值也就可以依葫芦画瓢了。

唉，太喜欢总结公式了。公式确实化繁为简，可以帮助同学以最短的时间解出难题。可是，对于那些喜欢数学的同学来说，公式就像一块被嚼过的肉－－索然无味。何不等等，让浮云飘一会、、、

一个小数，小数点向右移动两位后变成一个整数，两数相差 473.22，原来的小数是（    ）。

子：我知道应该怎么做，结果是计算出了错。
父：噢，你怎么计算的？
子：设两个数分别为a和b，其中b ＝ 100a。
父：你能确定小数点向右移两位就是扩大100倍吗？
子：我能确定。
父：如何确定？
子：我记得的。
父：老实说，我吃不准。
子：那好办，你用一个数试试。
父：噢、、、
子：例如数字1，把小数点向右移两位就是100。
父：果然如此。然后呢？
子： b - a = 473.22, b= 100a, 99a = 473.22, a = 473.22 ÷ 99
父：没错。可是你们没有学过两位数除法啊。
子：会一点，但是不熟练。
父：那你试试吧。

Alex 计算了很长时间，无果。我看看时间差不多了，于是，说：
这样吧，我们先去玩遥控直升机和天驰（橡皮筋动力滑翔机），休息下脑子，等会儿也许有灵感呢。

爽飞了差不多半个多小时。回来后，Alex 用分拆的方法计算了一次：
473.22 ÷ 9 ÷ 11
这比直接除以99方便了很多。

看到答案答案的后两位正好是0.78，突然，我想了另一个办法，如下图：
  □□□. 0 0
-       □.□□
-----------
  4  7  3. 2 2
哈哈。两位数除法变成了填数游戏。Alex 很兴奋。

Alex 有轻微的“左右”识别障碍，俺也有，肿么办？肿么办？有“左右”识别障碍就学不好小数乘除法，有木有？

一年以前的家长会，当时的数学老师（现在走了）说的怎么学除法，大概意思如下：
除法是平均分，但是孩子刚接触的时候要体验不平均分，多体验怎么分以后再引入平均分，孩子就容易理解

ccpaging 发表于 2011-6-13 11:16
Alex 有轻微的“左右”识别障碍，俺也有，肿么办？肿么办？有“左右”识别障碍就学不好小数乘除法，有木有？

我小时候也有，后来摔跤左手骨折了，之后就分得清楚了，知道骨折过的是左手....这个方法不推广

不过我是在体育课有这样的困扰，做作业的时候应该可以分辨，因为你右手拿笔，只要和你比相反就是左，和你笔方向一样就是右

sour 发表于 2011-6-13 11:39
我小时候也有，后来摔跤左手骨折了，之后就分得清楚了，知道骨折过的是左手....这个方法不推广

不过我是在体育课有这样的困扰，做作业的时候应该可以分辨，因为你右手拿笔，只要和你比相反就是左，和你笔方向一样就是右

左右分不清，主要还是条件反射建立得不够深刻吧。军训的时候被教官多骂两句就好了。

茉莉清茶 发表于 2011-6-13 11:56
左右分不清，主要还是条件反射建立得不够深刻吧。军训的时候被教官多骂两句就好了。

过了小学就没这个烦恼了。

回复 #6 jiangying 的帖子

不太理解，“不平均分”和除法有神马关系？

sour 发表于 2011-6-13 11:57
过了小学就没这个烦恼了。

是不是暗示，小数乘除法的熟练运算应该放在初中？

ccpaging 发表于 2011-6-13 12:11
是不是暗示，小数乘除法的熟练运算应该放在初中？

我是说左右分不清楚，大部分人之后都会变好

我觉得对左右区分这种生活习惯，还是加强条件反射为主比较好吧。
一般孩子多练习练习就能解决了，在认知上有大障碍的应该是非常少数的。

cc耐心真好

洛书的传说
河洛图，又叫“河图洛书”，是关于中国古代文明的著名传说。六七千年前，龙马跃出黄河，身负河图；神龟浮出洛水，背呈洛书。伏羲根据河图洛书绘制了八卦。之后大禹治水，河伯献河图，宓妃献洛书，使得大禹终于战胜的洪水。至于现代人们从河图洛书中看到的中国古代天文成就和高度数学成果则是专家们研究的课题了。我们知道中国远古的神祗都是文化的代表，所以伏羲和女娲的像往往手中拿着规、矩二物。河伯宓妃手中拿着河图洛书也代表了他们在远古的崇高地位吧。


关于洛书的传说，俺是在大学一年级上数学分析课时，第一次听老师讲的。听完这个故事，俺有疑问。如果说治水跟数学有关，俺能理解。可是，洛书能治水吗？怎么用啊？俺不信。

让家的小四生计算九宫图（也就是洛书）。“这太简单了，每行每列加起来是15，中间的数字是5”，不到一分钟，就画出来了。这算什么，画出九宫图，就可以治水吗？当然不行。充其量，这只是记忆了一个图形而已。
好吧，就算小四生不记得老师或者别的地方讲过，从1-9一个个地试，运气不错，试了几下，居然找到结果。这算数学了吧？错。这还是不算什么，充其量说明小四生耐心比较好，运气比较好罢了，仍然不是数学。
那么，如果小四生比较聪明，在试算的过程中找到了些规律，例如，总结出类似“每行每列加起来是15，中间的数字是5”，这总算是数学了吧？对不起，这还不是数学，只能算是算术。

这也不是数学，那也不是数学，那么，什么是数学呢？

回复 #16 ccpaging 的帖子

总结出了规律换不算是数学, 你的要求太高了吧. 赶快讲讲, 什么是数学?

aochuanhui 发表于 2011-7-18 13:54
回复 #16 ccpaging 的帖子

总结出了规律换不算是数学, 你的要求太高了吧. 赶快讲讲, 什么是数学?

听老师讲会填洛书，用试算法找到了答案，甚至总结出了本应老师讲的术，都不是数学。原因就在于，这些都只局限于这一道题，无非是会解题与不会解题，自己解题还是在别人的帮助下解题，以及用什么方法去解题，如此而已。
可是，神话传说里边讲到，“之后大禹治水，河伯献河图，宓妃献洛书，使得大禹终于战胜的洪水”，显见，洛书在其中的作用，怎么说应该是道理、学问这些东西吧，一道题，无论如何承担不了治水的重任。

所以，以上说到的只是题，充其量是术，绝不是数学。

学习中

父：这么快就把九宫图填好了？
子：（得意儿）很简单啊！
父：是吗？你为什么一开始就在中间填了一个“5”呢？
子：我照书上填的。
父：我还以为是老师教的呢？
子：老师也讲过，好像是二年级还是三年级吧。
父：哦
子：我还记得，每行每列的和应该是15。
父：是啊，5和15是填九宫图的 Magic Number。可是，为什么是5和15呢？别的数字行不行呢？
子：这个、、、我没研究过啊。
父：那就研究吧。

回复 #20 ccpaging 的帖子

晚上让孩子考虑了一下这个问题，15还能想出来，但5就想不出所以然了，几经提示也没想出来，只好讲给他听。
这确实是个好问题,很值得孩子去思考

A B C
D E F
G H I

第一行的数字和＋第二行＋第三行
=1+2+3+...+9
= 45
且第一行的数字和＝第二行＝第三行
故每行的数字和为 45 / 3 = 15

Alex 看到了这一点，但是描述的拉拉杂杂，很不清楚。如果他学过了代数，就可以用简单的数学语言来描述了：
(A + B + C) + (D + E + F) + (G + H + I) = 1+2+...+9 = 45
因为：(A + B + C) ＝ (D + E + F) ＝ (G + H + I)
所以：(A + B + C) = 45 /3 = 15

排除法
如果中间的数字是1，周围势必要填2，同行的第三个数字就只能是13。
如果中间的数字是2，周围势必要填1，同行的第三个数字就只能是13。
如果中间的数字是3，周围势必要填1，同行的第三个数字就只能是11。
如果中间的数字是4，周围势必要填1，同行的第三个数字就只能是10。
如果中间的数字是6，周围势必要填9，同行的第三个数字就只能是0。
如果中间的数字是7，周围势必要填9，和已经超过15。
如果中间的数字是8，周围势必要填9，和已经超过15。
如果中间的数字是9，周围势必要填8，和已经超过15。

代数法
  A + E + I
+D + E + F
+G + E + C
+H + E + B
= 4 x 15 = 60
而：
A + E + I
+D      + F
+G      + C
+H      + B
= 45
所以：45 + 3E = 60
＝》 E = 15 / 3 = 5

可能爸爸妈妈们更喜欢代数法，那是因为你们已经至少接受过完成的初等代数教育。换言之，你们在数学知识的半山腰。而同学们才刚刚起步。所以，让他自然地成长吧。

回复 #23 ccpaging 的帖子

我是用排除法讲的。一方面我娃不懂代数，另一方面我觉得排除法更有趣一些。题目讲完了，顺便告诉他什么是排除法