菜鸟视野

以前写的一些老文，有些观点现在觉得不太正确了。


数学思维培养之不完全感想…………………………………………………………………………#2，3
数量结合之路…………………………………………………………………………………………#4
初等数学的天王山……………………………………………………………………………………#5
奥数越早学越轻松……………………………………………………………………………………#6
数学的推动力…………………………………………………………………………………………#9，10，11，12，19，20，23
欧几里得（ccpaging）……………………………………………………………………………… #17,18
弟子规中的“非系统适度超前”…………………………………………………………………… #24
有多少童年可以重来，有多少大脑可以挥霍………………………………………………………………#25
九九表和十九乘十九表………………………………………………………………………………………#26
幼儿园教的数学………………………………………………………………………………………………#30，32
关键在于怎么学，而不是学什么……………………………………………………………………………#33－35，39
如果数学是你的弱项（转）…………………………………………………………………………………#36－38

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数学思维培养之不完全感想(2010-06-30 11:46:38)
    这几天，连续两次听到数感这个词，我不知道什么是数感，于是baidu了一下，见到这样的定义：“数感是人们主动地、自觉地或自动化地理解数和运用数的态度与意识”和这样的解释：“在人们的学习和生活实践中，经常要和各种各样的数打交道，经常有意识地将一些现象与数量建立起联系，这就是数感。”于是有了这样一篇乱文，绝对原创，个人意见，错误难免。
    一.对学校教学的看法
    在谈数学思维培养前，我先谈谈对学校教学的看法。我的观点很明确：学校的教学是底线而不是上限。基于以下两点考虑。
    1.学校遵循课程标准进行授课，目的是保证所有的学生都达到一定的知识水平，得照顾大多数学生，而孩子们的水平参差不起，必然有很多孩子超过学校教学的要求。
    2.新课标对年级的划分是人为的，而数学是一个有机的整体（其实其他学科也是）。某些条件下完全可以跳出年级划分的框架。
    在这样认识的基础上，我对类似这样的问题都觉得不可理解，“什么时候可以学XX?"问题改成这样似乎要好些，“x岁该怎么学XX？”不应该是什么时候学，而是什么时候该怎么学。前一个问题就是把底线当成上限，必然限制孩子的发展。
    二.基础教育阶段数学学什么
    数学是自然科学的基础，学数学学的是规律，孩子学数学就是学如何总结和应用这些规律。跳出年级划分的框架来看，中小学12年，数学就学了两个方面，数与代数，几何，其中它们在初三交叉一次，就是三角函数，在高二交叉一次，变成解析几何（不是很清楚现在的课程设置，参照的我们以前的，下同）。而数学的难点,其实也就3个,小学阶段的应用题,初中阶段的因式分解和几何证明。掌握这两条主线并克服这三个难点，数学应该不成问题。
　　三.数学思维的培养
　　孩子数学思维的培养应该跳出年级的框架，全方位的在生活中培养。
　　1.数和代数
    如果我的理解没错，数和代数的基础就是数感，数感包括但不仅限于以下三个方面。
    a.数量结合
　　数量结合不仅仅要知道数量的对应，还得知道数量的关系，比如，两堆苹果分别是两个和四个，对应的不仅是2和4，还有多2，少2，移1个就相等，等等。
　　但是这样还是不够，数量结合的量不局限于定量，还包括变量，没错，就是初一才学的函数的变量，幼儿园和小一学的数的分解和组合就是函数，如果用逆序法进行数的分解，就已经把函数概念体现得淋漓尽致，幼儿园的孩子完全有能力掌握简单的函数思维，虽然他不知道什么是函数。在日常生活中，函数的概念也无处不在，家里3口人，吃饭要6支筷子，今天来了一个客人，会多几支。
    初中的函数学得好不好，就在于小时候数量结合掌握得好不好。
       b.数形结合
     华罗庚说过：“数形结合千般好,隔离分家万事休,几何代数统一体,永远联系莫分离。”我认为数形结合分为两个方面，一个是几何和代数的统一，另一个是代数内部的结合。现在的一年级有些题已经是多元一次方程组了，只不过用苹果和梨子这样的东东代替x,y这样的抽象符号而已，幼儿和儿童实际的数形结合会直接影响以后的代数思维。算盘是一个很好的数形结合工具，虽然它已经不在是很好的计算工具。传统的算盘可以进行16进制计算，16进制在电脑应用中非常的广泛。
    c.数序结合
    这个不用多说了，很多成年人都结合得不好。问个简单的问题，家住在6楼，上到多少层是一半？估计很多人都会回答3层，而答案是3层半。
    2.几何
    自然界有很多形状，规则的，不规则的，学习几何就是研究这些形状，农耕社会的丈量，治水，都离不开几何，现在的工程也离不开几何。多多培养孩子的地图感觉和空间思维就行了。
    3.速算
    速算有没有用，现在是有争论的，说无用的人很常用的一句话：“又不当会计，算那么快干什么？”实际上，现在的会计没几个算得快的，基本都是用一个大大的计算器（还是非科学计算器）解决问题。我个人认为速算还是有用的，具体有什么用，就说不出来了，就算介于有用和无用之间吧。不过不管是否有用，在数学思维没有建立前学速算都不是一个好的时机，如果孩子对数很敏感，速算也就没有学的必要了。
    4.奥数
    如果有人问我奥数什么开始时候学，我的问答永远是幼儿园。不是所有的学习都是一板一眼地坐着听老师上课。当然如果有人问我幼儿园奥数怎么学，那是另外一个话题，我无法回答的话题。现在的奥数才是真正的数学思维，虽然奥数竞赛有点难，有点偏，有点怪。
    数学思维的培养不需要题海，不需要大量的教辅，跳出思维的框子，年级的限制，甚至学科的限制，给孩子一个广阔的空间。

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数学思维培养之不完全感想（续）(2010-07-29 22:01:09)
  
　　前几天写过一篇数学思维培养之不完全感想http://blog.sina.com.cn/s/blog_49926d310100jfgm.html，本文为一些其他感想，对比上篇要凌乱些，不过既为不完全，乱就乱吧，自娱自乐之文而已，错误难免。

　　1.对数学新课标的看法

　　总体来说，数学新课标比以前的大纲是进步，对比以前大纲，知识点增加，难度降低。

　　优点：数学新课标按纵向划分，基本分为数与代数，图形与空间，统计与概率，实践和综合应用几块，系统性比以前的教学大纲增强，便于学有余力的孩子主动扩展，满足多样化的学习需求，便于因材施教，有利于数学思维的培养。

　　缺点：数学新课标重实践，轻推理，这本没有什么错，但是不适合中国国情，由于汉语言的特点，中国孩子综合能力强，思维速度快，记忆力强，但逻辑思维略差，而中国基础教育缺失一门逻辑课，数学学习中不把逻辑补上，使得孩子在逻辑上比西方国家孩子差距会加大。

　　2.中国小孩数学启蒙现状

　　由于汉语言思维速度快的优势，中国孩子算术能力和记忆能力较强，因为这个特点，鼓吹速算和死记硬背的商人很容易忽悠家长，毕竟容易出成果，但盲目速算和死记硬背容易损害孩子正常数学和逻辑思维。另外大多数家长盲目排斥奥数，不在孩子小的的时候注意数学思维的培养，到小学高年级迫不得已学习奥数的时候大感痛苦。

　　3.数学思维培养的一些想法

　　a.数学思维该何时培养？

　　我认为数学思维该在孩子接触1,2,3的时候就开始培养，从小就应该注意数形、数量和数序三个结合，不要让孩子的数感陷于空洞，数不能与现实生活割裂。

　　b.数学在小学课程的地位

　　我认为数学在小学主课中的地位仅次于语文，应该在英语之前。原因如下：

　　　1）我们目前的环境，学好英语的代价实在太大（个别家庭除外），事倍功半。孩子大点只要有意愿，基本上都能掌握好英语。

　　　2）数学思维培养在孩子小的时候进行事半功倍，孩子大了思维受限，再培养比较困难。

　　　3）对于没有英语环境的家庭创造英语环境代价太大，而数学思维的培养可以在生活中进行，低价较小。

　　c.对数学学习的一些想法

　　　1）奥数学习应尽早，越早越轻松，奥数应该是很快乐的，之所以不快乐是学习方法不对，奥数不是洪水猛兽，其中才真正蕴含着数学的本质。家长不会做奥数题很正常，毕竟成人的思维已经受限，不要因为家长不会就盲目认为奥数超过孩子的能力。

　　　2）家长也学会识别数学学习中的无用知识，这部分知识只为应试所用，对未来的生活工作毫无意义，不要浪费实践去强化。比如超强的心算能力（必要的心算能力还是有用的）等。

　　　3）初中应该加强平面几何证明的锻炼，也可以进行一些形式逻辑的锻炼，不过数理逻辑强的话，形式逻辑学起来比较简单，不能为了逻辑而逻辑，不能在生活中应用数学毫无意义，不能在生活应用的逻辑也毫无意义。

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数量结合之路(2010-08-23 14:53:40
　　提示：观看本文，后果自负。

　　本文为菜鸟根据自己大脑记忆和小学低年级段数学课本所写，未参考现行高年级以及中学课本，未经数学和教育专业人士审核，故菜鸟不保证文中引用的正确性，推理的正确性和结论的正确性，观看本文所引起的所有不良反映（包括但不限于头晕，呕吐，感冒发烧等），均后果自负，菜鸟不承担任何责任。

　　

　　孩子数学思维的培养，包括数形结合，数量结合以及数序结合，其中的数量结合将贯穿孩子学习的整个过程。菜鸟认为大学以前，孩子对量的理解分为4个阶段，巧合的是，这4个阶段恰好对应学校教育的大约3年时间。当然由于孩子的个体差异，数量思维的发展并不完全同步。有些孩子会有一定的超前，但最好不要滞后。

　　1.离散量阶段，对应小学三年级以前。这个阶段的前期尤为重要，孩子通过数数把整数和整量的关系结合起来，是一个从形象到抽象的过程，然而很多家长所做的事情却是不准孩子用手指，学速算，背公式，背19x19表等，非要把孩子的数和量割裂了才开心。学前的数量结合启蒙做得好，上学后会非常的轻松，小学低年级，基本都是整数量（也就是离散量）的计算，难度不是很大。

　　2.连续量阶段，四年级左右开始接触分数和小数，孩子对数的思维跳出离散数的框架，进入连续量阶段，分数的引入，有理数也就完备了，再引入开方和圆周率等无理数，连续量概念形成，直线数轴可以覆盖所有的连续数。常说：“四年级是一个坎”，从数学上来说，这个坎就是连续量的理解。

　　3.变量阶段，初一的函数，变量正式登上舞台，数轴变成了平面直角坐标，这个阶段因式分解是难点和重点。这个时候的直角坐标系中的量仍然是一维的，两个量组成坐标。

　　4.矢量和虚数阶段，矢量的引入是在高中的物理中静力学的力学分析，数量走出一维概念，走向平面和空间，配合着数量的空间化，几何也开始空间化。矢量概念只是直角坐标的延续，难度也不大。

　　这4个阶段的划分也不是很严格，实际上进入后一个阶段，对于前面阶段的理解会一直延续。

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初等数学的天王山(2010-12-01 16:47:21)
　　免责提示：观看本文，后果自负。

　　本文为菜鸟个人观点，未经数学和教育专业人士审核，故菜鸟不保证文中引用的正确性，推理的正确性和结论的正确性，观看本文所引起的所有不良反映（包括但不限于头晕，呕吐，感冒发烧等），均后果自负，菜鸟不承担任何责任。



　　中小学数学的天王山是几何证明和因式分解，只要在初二左右迈过这两个山头，高考前的数理化都一马平川。

　　初中的时候，父亲曾对我说：“小学数学的难点是应用题，初中数学的难点是几何证明和因式分解。”当时对因式分解体会不深，那些分解方法（十字相乘，配方法等）我都掌握得非常好，没觉得难。到了后来，发现有些同学对二次函数掌握不了，才知道因式分解确实是难点和重点。几何求证上，在一个暑假里面父亲要求我把《许纯鲂初等几何四种》研究了个透彻（为什么不说是做题？因为实际上我一道题都没做完过，基本上是在选择题型，理出思路），刚开始的时候是心怀抵触的，后来才慢慢地体会到了推理的乐趣。

　　从孩子数学思维发展的角度来看，因式分解是数量结合达到变量思维的极致，几何证明是数形结合达到变量思维的极致。初中是学校教育中从常量到变量转换的分水岭，数学思维落后的孩子会在这里大幅掉队。

　　小学阶段的未知数使用还局限于方程这个万能钥匙，严格的来说，方程的未知数仍然是常量。谁先掌握变量思维，谁就在数学学习中掌握主动。从这个意义上来说，在小学阶段慢慢给孩子侵浸植入变量思维，是孩子中学阶段理科能够轻松学习的关键所在。


　　

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奥数越早学越轻松(2010-12-30 23:14:49)
　　免责提示：观看本文，后果自负。

　　本文为菜鸟个人观点，未经数学和教育专业人士审核，故菜鸟不保证文中引用的正确性，推理的正确性和结论的正确性，观看本文所引起的所有不良反映（包括但不限于头晕，呕吐，感冒发烧等），均后果自负，菜鸟不承担任何责任。

　　从前有一个很饿的人，吃了６个饼，还是饿，吃了第７个，饱了，他后悔的说：“早知道第７个饼能吃饱，就不吃前面６个了。”
　　很多家长从小不注意孩子数学思维的培养，到了四年级逼急了，出去学奥数，孩子不给力，大骂：“奥数难呀，奥数变态呀。”这就好象不吃前面６个饼直接吃第７个，反而说第７个饼不管用。
　　奥数学习，越早学越轻松，越愉快，越节约时间，为何？且听菜鸟慢慢道来。
　　首先，学校的数学是孩子学习的底限，而不是上限，如果把底限当成上限，孩子的数学学习就象一只被绑住翅膀的小鸟，飞不起来。只有跳出这个限制，才能发挥孩子的内驱力，使潜力充分的发掘。
　　其次，学校数学是循序渐进的学习方式，这样的方式不能说错，但是有一定的风险，循序渐进一环扣一环，一旦某一环出了问题，整个系统就面临崩溃。孩子的数学思维发展是螺旋形上升的，和数学发展史一样，其中必然有很多数学危机发生，数学危机以后，如果系统不崩溃则数学思维就会跳跃，一旦崩溃，要挽回就很困难了。举个例子，计算的学习在学校中是先加减，然后乘除，然后乘方等等这样一环一环下去的，但是很多孩子在背99表和4则运算这两环出问题，学校考试的压力很大，这样的重压下要解决数学危机是有一定难度的。如果换个思路，孩子在接触抽象运算的时候，直接同时接触加减乘除四则运算加乘方开方等，这样，链条就变成了一个整体，无处可断，了解高等级的运算可以帮助理解低等级的运算。即使孩子一时不能完全理解高等级运算，也无所谓，没有考试的压力，孩子可以从容的面对数学危机，而危机一旦解决，就是孩子数学思维跳跃之时。等到考试压力来临的时候，孩子的思维能力已经完全没有问题了。奥数的其他学习也是同理，所以奥数学习，越早学越轻松，越愉快，越节约时间，学得越晚越难，越危险。
　　那么，为什么有些人认为学得早的孩子累呢？那是他们对学习的理解方式不对，学一样东西，不一定在刚学的时候就掌握得那么完美，学过，不一定就得马上会，这就要用好学校考试这个工具，只要把握住学校的检验是底限，在考试的时候会就行了。坚持高标准，低要求，不考核，这样孩子的学习会越来越轻松，主动。

回复 #1 jiangying 的帖子

现在觉得哪些观点发生了变化？

ccpaging 发表于 2011-5-16 21:58
回复 #1 jiangying 的帖子

现在觉得哪些观点发生了变化？

确切地说，不是变化，而是细化。
比如，关于数序结合，我以前的理解就是序号和数的关系。现在认为还有序列。西方语言是拼音文字，天生对序列的敏感度超过国人，所以国人的数序结合要加序列这一项。

回复 #8 jiangying 的帖子

在数学史来说，欧几里得几何对希腊的几何成就进行了总结，在希腊乃至欧洲，人们相信，数学是打开自然之门的一把钥匙。最后，欧几里得催生了现在之所谓数学。
九章算术对中国的计算成就进行了总结，在中国，算术只不过是九艺之末。中国人用什么思想在探究自然呢？我不知道。

那么，试问，欧几里得几何有什么神奇之处呢？为什么它可以催生现在之数学呢？为什么九章算术却沦落到如此不堪的地步呢？同为数学之基础，差距咋就这么大呢？

ccpaging 发表于 2011-5-17 10:39
回复 #8 jiangying 的帖子

在数学史来说，欧几里得几何对希腊的几何成就进行了总结，在希腊乃至欧洲，人们相信，数学是打开自然之门的一把钥匙。最后，欧几里得催生了现在之所谓数学。

希帕索斯悖论，奠定了欧几里德几何的基础。芝诺悖论造就了亚里斯多德逻辑学的辉煌。
没有铁球悖论，就没有牛顿经典力学。缺少了双生子悖论，那还会有广义相对论。

科学是悖论推动，没有证实和证伪，就不会有科学的前行。

亚里士多德批判了芝诺的言论，确尊其为”辩证法“的创始人。而在我国“公孙龙”却是被人嘲笑的对象。到这里，答案至少已经有了一半了。

回复 #10 jiangying 的帖子

危机是数学发展的推动力之一，我认可。但这并不能解释，《九章算术》为何没有孕育出现代之数学。

回复 #11 ccpaging 的帖子

我说答案只出来一半。另一半需要你们这些数学科班出生的去研究。

我们这些二杆子就不凑热闹了。

“坚持高标准，低要求，不考核，“， 这个观点非常赞同！

为什么因式分解这么重要？我难以理解，可否进一步详细解说？

还有，LZ有没有什么适合小学低年级进行数学拓展学习的书本推荐？
非常想让儿子学好神奇的数学

回复 #13 aochuanhui 的帖子

在后续的高次函数和多元函数的研究中，都需要因式分解做为基础的。甚至到了复变函数，也需要因式分解做基础。

回复 #15 jiangying 的帖子

谢谢！我看来要重视对因式分解的教育

       欧几里得（希腊文：Ευκλειδης ，约公元前330年—前275年），古希腊数学家，被称为“几何之父”。

        欧几里得生于雅典，当时雅典就是古希腊文明的中心。浓郁的文化气氛深深地感染了欧几里得，当他还是个十几岁的少年时，就迫不及待地想进入“柏拉图学园”学习。

        一天，一群年轻人来到位于雅典城郊外林荫中的“柏拉图学园”。只见学园的大门紧闭着，门口挂着一块木牌，上面写着：“不懂数学者，不得入内! ”这是当年柏拉图亲自立下的规矩，为的是让学生们知道他对数学的重视，然而这却把前来求教的年轻人给闹糊涂了。有人在想，正是因为我不懂数学，才要来这儿求教的呀，如果懂了，还来这儿做什么?正在人们面面相觑，不知是退、是进的时候，欧几里得从人群中走了出来，只见他整了整衣冠，看了看那块牌子，然后果断地推开了学园大门，头也没有回地走了进去。

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝
儿子的注释是欧几里得相信自己能学好数学，所以才自己走进去的。

　　少年时代的牛顿在剑桥大学附近的夜店里买了一本《几何原本》，开始他认为这本书的内容没有超出常识范围，因而并没有认真地去读它，而对笛卡儿的“坐标几何”很感兴趣而专心攻读。后来，牛顿于1664年4月在参加特列台奖学金考试的时候遭到落选，当时的考官巴罗博士对他说：“因为你的几何基础知识太贫乏，无论怎样用功也是不行的。”这席谈话对牛顿的震动很大。于是，牛顿又重新把《几何原本》从头到尾地反复进行了深入钻研，为以后的科学工作打下了坚实的数学基础。

　　近代物理学的科学巨星爱因斯坦也是精通几何学，并且应用几何学的思想方法，开创自己研究工作的一位科学家。爱因斯坦在回忆自己曾走过的道路时，特别提到在十二岁的时候“几何学的这种明晰性和可靠性给我留下了一种难以形容的印象”。后来，几何学的思想方法对他的研究工作确实有很大的启示。他多次提出在物理学研究工作中也应当在逻辑上从少数几个所谓公理的基本假定开始。在狭义相对论中，爱因斯坦就是运用这种思想方法，把整个理论建立在两条公理上：相对原理和光速不变原理。

问题：
为什么几何在数学中占有如此重要的地位？为什么数学在一个人的学习中占有如此重要的地位？

搞清楚这些，我们才能明了，学习几何、学习数学，我们究竟要学什么以及怎么学。

回复 #19 ccpaging 的帖子

这个问题，我引用两位科学家的话当作回答吧。
费曼的教学思想：
我讲授的主要目的不是为你们参加考试做准备，甚至不是为你服务于工业或军事做准备，我最喜欢做的是给出对于这个奇妙世界的一些欣赏，以及物理学家看待这个世界的方式，我相信这是现今时代里真正文化的主要一部分。也许你们将不仅对这种文化有欣赏,甚至也可能你们会加入到人类已经开始的这场伟大的探险中去.
彭加勒：“科学家并不是因为大自然有用才去研究它，他研究大自然是因为他感到乐趣，而他对大自然感到乐趣是因为它的美丽，如果大自然不美，那就不值得认识，如果大自然不值得认识，就不值得活下去。”

本坛有个帖子，写的是垂心的美。除了垂心，质心，内心同样美。
除了三角形，圆形一样的美。
当孩子能够体会数学的美，学习的目的还用得着说吗？

jiangying 发表于 2011-5-16 20:23
回复 #5 jiangying 的帖子

奥数越早学越轻松(2010-12-30 23:14:49)

孩子在接触抽象运算的时候，直接同时接触加减乘除四则运算加乘方开方等，这样，链条就变成了一个整体，无处可断

这段话说得有点意思。请教具体怎么操作？

jiangying 发表于 2011-5-17 21:51
回复 #19 ccpaging 的帖子

这个问题，我引用两位科学家的话当作回答吧。

除了三角形，圆形一样的美。
当孩子能够体会数学的美，学习的目的还用得着说吗？

对任何科目的学习来说，这都是最理想的状态。

回复 #20 jiangying 的帖子

让孩子体验数学之美，并没有体现在您的前几个帖子中啊？

弟子规中的“非系统适度超前”(2010-10-25 22:39:34）
　　我一直认为，孩子的学习——尤其是理科学习——应该坚持“非系统适度超前”。今天有人问：孩子问的问题自己不懂怎么办。当时我没回答出来，后来我在弟子规中找到答案“宽为限，紧用功，工夫到，滞塞通。心有疑，随札记，就人问，求确义。”

　　首先，学习方法既然是非系统适度超前，既然非系统，就不必一步一步的来，而且是超前学习，就不是最后的底限，不懂就不懂，继续努力学习其他的东西，功夫到了就懂了，

　　其次，有问题，要先记下来，遇到懂的人可以问。不过要注意的是，这个记下来，不仅仅是记问题，而且要记为了解决这个问题的思路和所做出的努力，这样当有人讲解的时候，一听就懂。而且能够举一反三。

　　所以当孩子问的问题，我们也不懂的时候，我们应该怎么做：
　　1.问孩子有什么思路，做过什么尝试。
　　2.要求孩子把思路和尝试写出来。
　　3.要求孩子以后问问题的时候，不能光问问题，必须主动的把做过的努力汇报出来。

　　长期坚持这样做，孩子的理科学习能力应该会有很大提高吧。

有多少童年可以重来，有多少大脑可以挥霍(2010-07-15 10:57:00)
       今天非常郁闷，一个朋友问我：“洋洋爸，遵照你的教导，我喊ＸＸ拿个1——100的数字表天天读数字，然后倒着读。他很反感。但我也想不出别的办法。因为这个本来就是该早就读熟练的了。是我以前在教他数数的时候抓紧练习。现在喊他读他可能觉得没有意义，又没有新意，所以很反感。我也说不清楚要叫他达到啥子目的，我本来数学就很瘟。而且现在我拿个啥子东西喊他数，估计他要说我幼稚（这段时间这个话是他的口头禅）。今天我喊他倒着从100数，他居然和我对着干，数的100、99、89、79……，他说是数字本上那样写的，他倒着念的，说我自己表达不清楚。我一着急更是没有办法。”  吓我一跳，我什么时候“教导”别人要数“数字”了，我说的是“数数”好不好。数要和量,和序,和行结合起来才有意义，把数字割裂开来搞有啥子意义？

这边还没完，另一边又有人找什么19X19乘法表的电子书。真不知道是怎么了，拜托现在是信息社会，信息很多的，没有必要让这些无用的知识占据孩子有限的大脑内存。对于乘法来说，99表已经足够覆盖所有的计算，在没有计算器的情况下，心算和笔算就是算法优化的问题。19X19乘法表比99表在量上大了超过3.4倍左右，算上难度差距，差距就更大了。为了一点虚无缥缈的以后计算快，花费大量的时间和大脑内存，值吗？

记得读大学的时候，为了把一个1.44M的软盘用好，我们是想尽办法，找软件格式化成1.56M，清理碎片和压缩文件。当时的软件工程师对尽量地节约资，优化算法。随着电子技术的发展，软件工程师们开始挥霍硬件进步带来的大容量存储空间，可是对于依旧紧张的I/O口，寄存器，依然是非常节约的。

人类的进化应该是赶不上摩尔定律的，毕竟我们对于我们自身都没搞清楚，现在的孩子比我们聪明，但和我们小时比较起来，远远比不上100G移动硬盘对比1.44M高密软盘。我们可以挥霍存储空间，那是科技进步带来的便利，可是进化的程度能让我们挥霍孩子的大脑吗？有多少童年可以重来，有多少大脑可以挥霍。

科技的发展，让我们拥有更多的存储空间，我们使用电脑，都知道把数据放在电脑意外，孩子的大脑，也可以把某些数据的存储外包给科技，只保留必须的和有趣的数据，优化的算法和对人生的感悟。

九九表和十九乘十九表(2010-07-15 22:50:17)
　　今天受了点刺激，写了篇文章，http://blog.sina.com.cn/s/blog_49926d310100jtjp.html把孩子的大脑比喻成电脑的存储设备。这个比喻说起来不是很恰当，但是也实在找不到合适的比喻。

　　记得当年为了节约存储空间，大家都是arj高手，小小的磁盘玩起来特有意思，现在不必要这么节约了，各种大容量的移动存储设备随处可见，压缩软件也不在是dos下的arj，而是高级RAR和ZIP。

　　压缩软件的作用是把冗余的信息尽量的减小，节约存储空间。孩子的大脑也需要有压缩软件帮他节约空间，这个压缩软件就是孩子的思维能力，这个压缩软件的作用可比电脑的作用大多了。多背冗余的信息，不仅浪费了孩子的大脑存储空间，而且也削弱了孩子的思维能力。

　　对于乘法，有四种表格小九九，大九九，小十九乘十九，大十九乘十九，小九九有45条信息，大九九有81条信息，小十九乘十九有190条信息，大十九乘十九有361条信息。从信息量来说十九乘十九是九九的4倍多，难度也大得多，毕竟九九表中和一相关的基本不占用存储空间，综合来说，背十九乘十九的难度在背九九的难度的十倍以上。如果孩子的数感不强，背这样的天书的难度可想而知。

　　十进制数的基础就是0-9十个数字，十进制的乘除法的基本元素也就是九九表中的计算式，只要记得（不是背，多用自然就能记得）九九表，十进制的乘除法计算也就完全能够计算了，如果在掌握一些巧算的方法，计算速度也不会太差。十九乘十九表中超过十的计算反而没多大用处，它们根本就是不是乘法和除法计算的基本元素，在实际计算中应用并不广泛。背十九乘十九表多花了不少劲，取得的效果却很少，完全是无用知识。

　　对于小九九和大九九，我倾向记小九九，乘法交换律就是大九九到小九九的压缩软件，直接使用大九九，表面上看要简单些，实际上孩子对交换律的理解必然受到影响。

　　当然我的意思也不是不能背大九九和十九乘十九，背的前提是相应的思维能力已经具备，否则有害无益。

回复 #26 jiangying 的帖子

学习学习再学习。

进来学习的。

真菜鸟进来看了一眼,眼晕. 学习了,高手们继续哈.

洋爸你是怎么在幼儿园教的呢？

怎么觉得今天喵网字体这么小，看得好累。
是我电脑的问题吗？

sour 发表于 2011-6-14 17:02
洋爸你是怎么在幼儿园教的呢？

如果我回答说我不知道，007又要批评我了。

不过按我往常的回答法：我没教。大家认为我在忽悠了。
孩子从很小的时候就开始数数，数一切可以数的东西。到了4岁左右，4则运算的概念基本上都会了。他外公拿个算盘给他玩，学会了算盘。这时候我们干了一件蠢事，送他去学珠心算。刚开始他兴趣很大，到后来拒绝做作业，哭闹着不去，我们和老师商量放慢进度。到后来，我终于明白数学不该这么学，即时地停了。理科的学习还是得遵循科学的规律。

基本上来说，孩子知道的东西，应该是两个来源
1. 自己看书
2. 追问。 常常发生的事情是我在回答他问题的时候，他会找到其中的关键点穷追猛打，拔出萝卜带出泥问出一堆乱七八糟的东西。他乐此不疲。而这些对话我只记录了少量，所以很多时候孩子知道什么？是否知其然也知其所以然？我都是不知道的

　　99同学在一本美国6－8年级的数学竞赛书上看到一道题：“列昂有4元5分钱，都是10分和25分的硬币。如果她的25分硬币比10分硬币多5个，问她每种硬币各有多少种？”题很简单，解法也有多种，菜鸟在这里也不想讨论这道题的解法。
　　在书中，本题是做为“猜”这个方法的例题出现的，首先试有5个10分硬币，则：5*0.1+10*0.25=3.00，接着猜7个10分硬币，最后来8个10分硬币。也许中国很多聪明儿的家长显然要说，老美太笨了，这么简单一道题，还是针对6-8年级的，居然还有这样的笨方法。
　　诚然，老美的这个方法确实笨了点，然而确实逻辑清晰的一种解法，更为重要的是，其中体现了一个数的变化的过程和影响。美国低年级的数学教材就已经开始在体现这样的一个思路，变化及其影响占有相当大的比重。国内的新教材也有这样的思路，但是在实际的操作中仍然不得不为死记硬背的机械算法让位。于是我们一代一代重复这样的杯具：背公式做题应试，长大了，全忘了。自己孩子学习的时候，面对那些自己曾经做得溜熟的题高喊：“现在的孩子咋个做这么难的题哦。”

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这道硬币题本质上就是鸡兔同笼问题, 这可是中国1年级奥数题, 中美小学生的数学差距咋就这么大呢?

aochuanhui 发表于 2011-6-17 12:27
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这道硬币题本质上就是鸡兔同笼问题, 这可是中国1年级奥数题, 中美小学生的数学差距咋就这么大呢?

所谓的差距，要看站在什么立场。例如，站在会做这道题的立场上看，那么中国学生可能占优的。可是，会做这道题，对孩子的数学能力意味着什么呢？
如果是老师教的，依葫芦画瓢，那么这种会做，在数学上，其意义为零。如同战国时有鄙人以九九乘法表应聘于齐国，王曰，那有什么稀奇，齐国小儿就会背九九。
如果是学生通过自己的探究，学生之间相互的讨论，从不会做到会做，从会做到总结出数学的道理，那么，这种会做，在数学上的意义就很大了。
说到 Explore and discovery，中国妈妈觉得很难，几乎不相信同学有这样的能力。以俺观察，这确实很难，可能在小学生而言，只有少量有兴趣有能力的同学能做到这一点。窃以为，对于美国小学生也有同样的困难。大概也就是这个原因，美国学校把这道题放在6-8年级。

中国人放弃了 Explore and discovery，这样在考试中无疑占有优势，可以在小学学到美国6-8年级的知识，那么真正到了6-8年级又干吗呢？继续学习8-12年级的知识，到了8－12年级，继续学习大学的数学知识。大学的数学知识已经不是每个同学都可以掌握的了，学起来很难，令人沮丧，令人信心全无，可是，大部分的同学在以后的生活和工作中根本用不到大学的数学知识。艰难地学，学到恶心，还学了些没用的知识，这不是吃饱了撑的吗？

为什么会出现这么愚蠢的教育行为呢？

菜鸟按:这是菜鸟视野系列中第一篇转载。之所以转这篇文章，不是全盘赞成其中的观点，其实关于其中应试的方法论，菜鸟还是大大地反对的。但是本文关于基础部分的说法，写得相当不错，菜鸟就是这么想的，但是写不出这个水平来。
菜鸟从来不认为学习理科是循序渐进,由简至繁的。科学本来就是在化复杂为简单，这个观点不改过来，理科要学好的可能性不大。


如果数学是你的弱项

一般来说，老师会这么想，“这个地方之所以不明白，是因为前面的某个地方没有搞清楚，只有返回去再学习一下前面的内容。”与其说这是“在山脚处训练”，不如说是“从山顶返回山脚的训练”。

   如果我是家庭教师，我决不会这么做。我会暂时不管不懂的地方，只针对眼前的难题，认真地为学生讲解教科书上的例题，而且反复地讲解，让他记住。也就是说，遇到难题时就来一个空降。教科书上的例题并不太多，所以应该不会耗费太多的时间。即使学生基础不好，如果能够巧妙地教给他解题的关键，相信也能解出来。
  这种学习方法可能和一般的观点背道而弛。只要阅读一下关于数学学习的书籍，就会发现几乎所有的书上都写着“基础很重要，首先要打好基础”。他们所推崇的学习法是“一个阶段一个阶段地前进，只有完全理解了这个阶段的内容，才能继续向下一个阶段迈进”。

  但是，在理解某个体系的时候，首先把握住整体才比较有效率。

◆基础知识很无聊

“打好坚实的基础”的学习方法最大的缺点是太枯燥，学生对学习提不起兴趣。这与在登山时只在低处徘徊是一样的道理，人们只会觉得疲惫不堪，根本看不到美丽的植物，也咱吸不到新鲜的空气。

第二个缺点是不知道自己正在学习的内容在整体上究竟处于什么位置。这是因为不懂鸟瞰法。部队行军时，如果士兵不知道目的地是哪里，就容易感到疲劳。相反，如果知道了目的地，他们就可以估计一下目前距离目的地有多远，就算是行军强度很大，士兵也不会感到疲劳。的确，只要知道了目的地，人就不容易疲惫。学习也是一样道理。如果能预先将教科书从头到尾看一遍，就能把握应学习的内容的全貌。这与只要知道了行军的目的地，就相当于掌握了通往目的地的地图是一样的。

不知道目标只是不断地重复基础知识，只会让你越来越疲劳，很多人对数学不感兴趣的原因正在于此。

◆基础知识很难

“从基础开始一步一步前进”的想法还有一个问题，就是想要真正理解基础知识很难。

比如，“数”的定义就很难，给0 1下一个定义是非常困难的。“直线”、“平行”这种概念也是一样。我们对于这些“基础概念”的掌握还停留在模糊的阶段时，就开妈学习如何运用它们了。很多工具都是在实际应用之后才能了解它的功能。数学也是这样。很多情况下只有通过使用才能了解概念和定理的含义。

另外，所谓回到“基础”究竟要回到哪里才合理呢？这里有一个程度问题。即使是数学专家，也不可能返咽到真正的基础部分去进行理解。特别是工学、经济学更是如此。

也就是说，先不用了解其中的道理，暂时把它搁在一边，只要记住它的使用方法，继续向前进就可以了。

“一遇到挫折就不能继续前进了”，这根本就不是数学这门学科的问题，而是人的心理问题。赤教授认为那只是单纯的自卑感在作崇，我个人也赞成这个观点。

日本的高中老师中森也认为：“不要从基础开始，从是从中间开始。”他还提出了一些忠告：“数学基础很差的人一般都会认为应该先理解基础，但这简直就是在等待‘百年河清’。没有比基础更难的东西了。。。。从基础着手的话，看上几页就觉得无聊，然后就放弃，这是数学不好的人的共同毛病。必须要集中精力学好现在正在学习的内容----只要真正理解了现在的内容，以前学习时不明白的地方会在不知不觉中想明白了。”

◆应试数学只能采用背诵法

“应试数学只能背诵。”我在上大学数学课时S教授曾经这么说，“别说创造力了，连分析能力都不需要。只要记往题型往里套就行了。”当时的S教授现在已经是举世闻名的大学者了，所以最好还是相信他的话（这只是针对应试数学的学习方法。他后来可能还说过“真正的数学不能背诵”或者“真正的数学也应该背诵”，但这么关键的东西我偏偏给忘了）。另外，我的朋友东京工业大学的今野浩也教授也说过同样的话。

实际上，我在参加高考时没有意识到这一点。当时我相信数学要靠自己去思考，所以当我从尊敬的大学者口中听到“背诵法”时，简直有一种上当受骗的感觉。

但是，至少对于应试数学来说，也许直的可以采用背诵法。实际生活中，一些上补习班的小学生解答复杂数学题的能力简直太令人吃惊了。但是，这并不意味着他们的头脑有多聪明。这些孩子只不过记住了题型以及每个题型的解法而己。想要凭借自己的力量解答中考的数学蛳则非常困难的。一些题目即使是以数学为专业的人在规定时间内也有可能解答不出来。由此看来，数学的确是可以背诵的科目。

仔细想想，学校的数学学习并不要求大家创造出什么新的理论，只要理解很久以前的大数学家所创造出的体系就行了。考试只不过是检测一下是否掌握了这个体系，而且还有固定的范围。当然，这需要在规定时间内解答出来（这是非常重要的条件。那些制定体系的大数学家当时可不是用一两个小时解出来的）。“只要记往题型以及解法就可以了”，这种想法也许是正确的（实际上，学者在研究时也会出现类似的情况。现在的学者很少写独创性的论文，而是从现在研究的课题着眼，对前的人做法进行改良。这样做至少从出发点来说比较有效率）。

厌恶数学的人可能认为数学是一门需要创造力的高级学科。属于学术层次的数学另当别论，作为应试科目的数学根本就不是什么高级学科。我们应该将数学家的数学跟应试数学分开考虑。这样一来，读死书的学习也能学会数学了（如果头脑不好，学不好的科目应该是语文才对）。

要点  对于数学来说，与其自己去想，不如直接将解题方法背下来。

◆加强计算能力

计算能力在应试数学中非常重要。虽然懂得解法，但是计算错误的话，也不会得分。相反，只要有了计算能力，就算没有掌握简便的解法，也可以尽力解开。

要想培养计算力，就只能重复练习，必须将其作为每天必做的功课。计算也需要感觉。当算式比较复杂时，将注意力放在哪个变数上、将哪几项合起来会使算式变得简单，这都需要感觉。如果不经常练习，这种感觉就会迟钝。这和长时间不用英语，就会忘掉单词一样。

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在讨论教育问题时，我原来不知道，喜欢津津乐道自己的方法，结果得到的反响总是出乎意料。不是说我讲的好与不好，而是我忽略了那些最重要的差异，如教育的环境、学生的情况、家长的情况。

假设，一个孩子处于美国教育的大背景，学校强调创造力，而这个孩子又偏偏缺少创造力，少到学起来吃力的程度。当然，如果假设不存在未经确认的遗传因素，这通常都是跟他小时候的成长环境有关。如果恰恰是父母带大的，可能这也就意味着父母也是缺少创造力的，或者不知道如何培养创造力。在这样的情况下，窃以为，采用一些机械的训练，以掌握基本的数学技能为目的，是可以接受的。

并不否认，楼上这篇文章中提到的，背解题过程可以学会数学。但如果不问情形地强行使用这种方法，对于有创造力的孩子来说，那就是毁了他。事实上，由于国内把残酷的竞争引入小学，在压力之下，大家很难淡定地让孩子慢慢生长一段时间，以便发现孩子的兴趣和能力，而更倾向于采用文中所提到的这种背解题的方法。这种方法也许适合80％的孩子，但这种统计对某个孩子和他的爸爸妈妈来说，毫无意义。因为对他们来说，这个孩子就是100％。

前面说到基础知识是不是要一步步前进的问题，窃以为，为师者，其对待某一阶段的知识一定要以更高的观点。例如，教小学一年级的学生，应以小学1-6年级的整体去观察，而不是局限于当前。而教5－6年级的小学生，则要以小学5年级－初中为整体进行考虑。

说个闲话。为何现在的6年级被改成预初在初中上课而不是小学？猜测是因为初中的数学知识下放，以小学老师的能力难以把握，而不得不为之。

觉得基础知识无聊，这不是知识本身和孩子的问题，可能是老师和教材的问题，甚至可能是评价方式的问题。例如，在亲子数学社里边，我们曾经花了大量的时间去研究，什么是进制，什么是面积，什么是速度，什么是分数，大家的兴致很高，效果也很好。

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关于数学体系的问题，爸爸妈妈其实不用太担心。我同意这种说法，BBMM不要刻意地追求体系的完整和顺序。不是搞数学教学的，非要按照体系的完整和顺序，反而会混乱。不知为不知，是知也。索性，承认这个局限，承认不能为，顺兴而为，顺性而为，以一种自然的心态，想到什么就说什么，孩子能听懂什么就讲什么，孩子想听什么就讲什么。

其实，数学体系自有的完备性自洽性，始终都会发生作用，不会产生真正的混乱。当然，前提条件是BBMM所讲述的这些知识应是正确的。

jiangying 发表于 2011-6-16 21:54
　　99同学在一本美国6－8年级的数学竞赛书上看到一道题：“列昂有4元5分钱，都是10分和25分的硬币。如果她的25分硬币比10分硬币多5个，问她每种硬币各有多少种？”题很简单，解法也有多种，菜鸟在这里也不想讨论这道题的解法。
　　在书中，本题是做为“猜”这个方法的例题出现的，首先试有5个10分硬币，则：5*0.1+10*0.25=3.00，接着猜7个10分硬币，最后来8个10分硬币。也许中国很多聪明儿的家长显然要说，老美太笨了，这么简单一道题，还是针对6-8年级的，居然还有这样的笨方法。
　　诚然，老美的这个方法确实笨了点，然而确实逻辑清晰的一种解法，更为重要的是，其中体现了一个数的变化的过程和影响。美国低年级的数学教材就已经开始在体现这样的一个思路，变化及其影响占有相当大的比重。国内的新教材也有这样的思路，但是在实际的操作中仍然不得不为死记硬背的机械算法让位。于是我们一代一代重复这样的杯具：背公式做题应试，长大了，全忘了。自己孩子学习的时候，面对那些自己曾经做得溜熟的题高喊：“现在的孩子咋个做这么难的题哦。” ...

朋友的孩子上某奥数暑期班。
据说老师评价孩子：“用数学的方法解奥数题。”当然这是个不好的评价。

菜鸟彻底晕菜，虽然从语法上来说，这样的说法无懈可击，但是菜鸟怎么都觉得这是个病句。什么叫数学的方法，什么叫奥数的方法？菜鸟百思不得其解。当美国的孩子初中还在凑数的时候，咱们的孩子2年级就在被灌输公式。

回到那句话：“关键在于怎么学，而不是学什么。”
当错误的方法占据奥数补习班的主流的时候，奥数不得不成为一个替罪羊。

在南辕北辙的道路上，我们小时候坐的是马车，现在的孩子坐的是动车。

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回到那句话：“关键在于怎么学，而不是学什么。”
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“学什么”指的是知识，在这一点上，数学知识可以说包含了奥数。但说到数学，内容不限于知识，还包括数学的素质、数学的思想、数学的方法等。

按照灌输的方式去教授数学知识，极端地，如让童鞋背记公式、不求甚解，也许数学的知识可以这种方式传授和接受，但是在数学素质和思想上，其效果却是完全相反的。换句话说，某个童鞋，公式背的很遛，习题做的很熟练，考试成绩很好，却可能完全没有独立的思想、质疑的精神。这不是这个童鞋当不当科学家的问题，而是能否做公民还是只能当奴隶的问题。

学数学知识不能跟培养数学素质划等号，考虑“怎么学”才是真正关注数学素质、数学的思想和数学的方法。

回复 #40 ccpaging 的帖子

“学什么”指的是知识，在这一点上，数学知识可以说包含了奥数。但说到数学，内容不限于知识，还包括数学的素质、数学的思想、数学的方法等。

按照灌输的方式去教授数学知识，极端地，如让童鞋背记公式、不求甚解，也许数学的知识可以这种方式传授和接受，但是在数学素质和思想上，其效果却是完全相反的。换句话说，某个童鞋，公式背的很遛，习题做的很熟练，考试成绩很好，却可能完全没有独立的思想、质疑的精神。这不是这个童鞋当不当科学家的问题，而是能否做公民还是只能当奴隶的问题。

学数学知识不能跟培养数学素质划等号，考虑“怎么学”才是真正关注数学素质、数学的思想和数学的方法。
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这是这样的。

不过我认为，相对学校那点可怜的数学知识，奥数如果用得好，更能领会数学的思想。可惜。。。。。。。

前几天在地球仪上我指着希腊和意大利对孩子说：“这是古希腊的地盘，是科学的发源地。”
孩子指着那三大文明古国：“毕达哥拉斯去过这三个地方，为啥他不到中国来呢。”
“因为中国太远了。”

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作为课堂教学，因为是普及教育的一部分，其真正的目的是具备基本的数学素质，基本的数学思想，基本的数学方法。这些素质、思想、方法是每个人都能具备且应该具备的。例如，质疑，逻辑等。即便有些孩子将来去当作家、记者，他们也需要这些。

数学知识，在这个教育过程中，个人以为，仅仅是个载体。在20以内整数可以研究的数学问题，没有必要故意用20-100以内数，或者小数。

另外，现在数学教育，还有一个问题，就是数学知识太多。未来的作家和记者，不需要这么多数学知识，他们也不感兴趣。强迫他们学并以此考核，会给他们造成伤害。

当然，个人对数学有兴趣，愿意去学，那又是另外一回事。有兴趣，当然就会吃不饱，没关系啊，自己去加餐好啦。但不能因某些人喜欢吃胡罗卜，就让所有的同学都吃大量的胡罗卜。

所以，普及教育中数学只要提供每个童鞋都能吃下去且满足他们身体所需的胡罗卜，就可以了。对于喜欢吃胡罗卜的，也不禁止他们多吃些。

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关于普及教育，我和你观点不同
不错，目的是“具备基本的数学素质，基本的数学思想，基本的数学方法。这些素质、思想、方法是每个人都能具备且应该具备的。”

但是这是最低目的，学习需要冗余的，举例说明，考试的及格标准是60分，如果一共学习5个知识点A,B,C,D,E，那么只要完全掌握3个就能达标，可以是ABC,BCD,ACD等等，也可以5个都掌握一部分，有些全掌握，有些掌握一部分，等等。。有各种各样的达标方式

但是，如果学的东西是最最基本的，学了，就得完全掌握，那么这是没有冗余的学习。对能力强的孩子，是降低能力，能力弱的孩子也不可能完全掌握。最终的结果是能力强和能力弱的孩子都没达到最佳状态。

学习过，比一定就要会。学的要求多一些，学会的要求低一点，窃以为这才是最理想的学习方式。当一次考试，最差的孩子在60左右，分数在60－100成正态分步，这样学习和考试才是我理想中应试教育（以应试为手段的教育），可惜这在现实社会是不可能的。

课本难度减负10多年了，最终的结果是奥数横行，外因就是课本太简单了。人人都是99，100，这样的考试是无效的，这样的学习是低效的。

当然根源还是太功利。这个不想多说了。

想想布鲁诺和伽利略。
布鲁诺被活活烧死，伽利略在认罪后跺跺脚：“可是地球仍然在转动呀。”
对于奥数，抵触就是布鲁诺，顺从就是宗教裁判所的帮凶。只有找到“怎么学”的奥秘，才能成为伽利略。

学什么不重要，管他是奥数还是学校数学。
怎么学才是最关键的。

我们在学什么上争论意义并不大。

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要以考试来衡量，我以为，前面都是白搞，太过复杂。为了提高成绩，方法就太多了。

1、跟出题的老师搞好关系。他老先生一句话，顶下面老师十节课。
2、跟区里出题的老师搞好关系。他老先生一句话，学校就受益无穷。
3、把差生安排在成绩好的学生边上参加考试。
4、多练习，题海战术。

俺不是老师，是个外行。相信教育工作者们有更好的办法。

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我不是想讨论考试问题，只是用分数量化比喻而已。

我想表达的意思，是要达到最低限，孩子需要接触150%的知识和思想，而不是在底限以下低水平重复。

不过这个问题在现实社会，靠学校无解。还得家长上。

学什么的问题不想再谈下去，这个是次要问题。