数学家与名师风范－－笛卡尔在海盗船上的故事

目录

华应龙 .......................... P1, 2-8#
丘成桐：数学和中国文学的比较........ P1, 9#
笛卡尔在海盗船上的故事............. P1, 10#

http://www.17xxw.com/Article/qtb ... 25130239_24373.html

作者：翟玉兰 Ｚ 来源：中国教师报 点击：106次 评论：0条

　　发现孩子“不同”的声音，保护他们的“独特”思维；奖励 “出错”的孩子，让他成为课堂的“明星”　　
　　他曾经是南方一所农村小学的体育老师，数学只是他的“副业”；他曾经坦言，做了两三年老师，课堂语言仍是他的软肋，上课说话时还会“打结”；他也曾因为在赛课中遭遇不公正，没有得到预期的名次而深受打击，郁闷地在乡间小路上唱着“山上有棵小树山下有棵大树，我不知道我不知道我不知道，哪个更大哪个更高”；他也曾写了很多稿子投到报社，却泥牛入海……所以，他曾经戏谑地称自己之所以在数学老师中“与众不同”，是因为读师范时班上成绩好的同学都去教语文了。
　　然而，成长路上的种种困难与挫折，并没有动摇华应龙“当一个好老师”的信念。他怀抱着对数学课堂的理想，对孩子的热爱，继续数学教学的实践研究，在不断反思中完善着自己的课堂教学，并不断前进。就如海明威所说：“人最难超越的是自己，当我们超越了自己，人生就进入了新的境界。”如今，华应龙已从一名乡镇教师成长为全国知名的小学数学特级教师，北京第二实验小学副校长，更荣获了首批“首都基础教育名家”称号，成为北京第二实验小学校长李烈口中引以为豪的“北调的南‘龙’”。与此同时，他的教学视野、教学方法、教学思想也在成长的蜕变中完成了“质”的飞跃。

　　传承的应该是整个数学文化，而不是数学知识本身
　　“带着你所了解的数学世界走进学生，这样你才会感到数学教学的生动与多样，学生的数学学习、数学思考也才可能丰富多彩。作为数学教师，你必须借助数学这个通道，引导学生去感悟世界的奥秘，而不仅仅是数学知识本身。数学的好玩，学数学的有趣，也就在这里。”
　　在华应龙的课堂上，记者真切地体会到，他教授给孩子们的，已不再是单纯的数学知识，而是整个数学文化。借助数学，他不仅引领着孩子们去探索真实的数学生活，更“不失时机”地帮助孩子们领悟人生的真谛。
　　比如讲“计算器”时，很多孩子早就会使用计算器了，教师还能讲什么呢？华应龙给孩子们提出的问题是：“我会用计算器吗？”在这节课中，他不仅带领孩子们认识了计算器上一些原来不熟悉的键，还介绍了计算工具的发展史。在利用计算器演算的时候，华应龙给孩子们出了一道“22222222×55555555=？”的题，让学生尝试独立完成。由于计算器位数不同等原因，孩子们的答案五花八门。这时，华应龙请学生打开装有“祖传秘方”的信封：“我相信你算完这三题后就会明白的：1个2乘1个5，2个2乘2个5，3个2乘3个5。”学生在探索中得出答案后，也总结出“化难为易”的解题思路，这才是华应龙这堂课真正的教学目的。这个时候，他引用我国古代哲学家老子的话给出总结：“天下难事，必作于易，天下大事，必作于细。”让孩子们自然地感受到了人生的哲理。
　　在采访的时候，华应龙告诉记者：“孩子在那样的环境下是很兴奋的，玩过之后有笑声，笑声之后有思考。这样的课才更有意义。”

　　让孩子的学习“像呼吸一样自由”
　　华应龙总是在不断地反思，不断地创新。在他的课堂上，常常能看到“与众不同”的教学设计。
　　“教学设计的宗旨就是要解决问题，解决教师教学中存在的问题，解决学生学习中的需要解决的问题。”华应龙说，“我1984年参加工作，1990年就开始应邀到外地去讲课了。前10年，我的课堂设计理念就是要与别人不一样，你这样讲，我就不这样讲。后十年我思考的是这节课的传统设计存在什么问题，我如何解决这个问题。”
　　华应龙的这一理念在“角的度量”这节课上得到了充分体现。按照传统的教学模式，一节课下来，常常有不少学生还是不会量角，有的连量角器都不知道怎么摆放。而对于教师自觉颇为言简意赅的“二合一看”等要诀，学生仍然不得要领。因此他在执教此课的时候，首先思考的就是：“这种概括为什么教学效果不好，原来的课堂存在什么问题？”经过思考，华应龙发现了问题所在：首先，教师让学生量了各种各样的角，但是这都是抽象的角，干巴巴的两条线所围成的图，没有让学生体验到量角在生活中很有用；此外，孩子们是以形象思维为主，老师抽象概括出的要诀反而增加了他们的学习难度。有了这样的认识，华应龙很快就找到了对策——在量角器上画角，先画90度的角，这是量角器上有的，再画60度，再画1度，再画157度。于是孩子们有了更多新的发现，“我能看到180个1度的角”……于是，量角的问题迎刃而解，量角的正确方法水到渠成。
　　华应龙说，孩子是天生的学习者，我们教师要做的就是抓住教学的重点，攻克教学中的难点，解决各种各样的问题，让孩子的学习“像呼吸一样自由”。

　　“容”错——尊重孩子的“不同”
　　担任了北京第二实验小学副校长的华应龙，上课已不是很多了，但是每学期他都会在自己的学校上几堂课。华应龙说：“每一次上课，我都怀着期待的心情想，今天孩子又会给我什么样的故事？”
　　因此，在华应龙的课堂上，他关注的不再仅仅是知识的传承，更多的是对儿童“独特之处”的发现。在华应龙看来：应该像农民种地那样教书。要像农民那样不误农时，要像农民那样因地因物制宜，要像农民那样耐心等待，不做揠苗助长、贻笑大方的事，要像种树那样“能顺木之天以致其性”，要像农民那样不责怪庄稼，而是反思自己……
　　于是，华应龙提出了“融错教育”的教育理念。
　　“融错教育”首先是“容”错，包容孩子错误。有容乃大，因为包容，课堂才会活起来，才能洋溢着生命力。
　　错误是一种反证，对教师也是一种提醒和帮助。因此，对孩子“不同”的声音，他总是特别好奇。每当课堂上只有一种回答的时候，华应龙就会不停地去问，“还有没有不同的？”他说：“有时候我是有预设的，这个问题，还有着怎样的答案。更多的时候我只是给孩子一个空间，你会发现有时候孩子的想法很独特。”
　　在执教“分数初步认识”这节课，华应龙以3/4导入，让孩子用手头的纸片来表达3/4这个概念。在巡视的时候，华应龙发现，有一个孩子在纸上画了五条竖线，然后从左向右，用大括号括起来四条。“这不是表示五分之四吗？我一看，就兴奋了。我好奇的目光和神态就表现出来，立刻让他说说他是怎么想的。”
　　“尊重孩子的‘不同’，并且一定要去追问这个‘不同’背后的解释。”这是华应龙经常对老师们讲的。“子非鱼，安知鱼之乐。学生的作品，学生的回答，一定要让学生自己去解说，我们看到的不一定是对的。孩子既然表达出这个作品，肯定会有想法”。
　　“果然，我追问那个孩子原因的时候，其他孩子也来了兴趣。孩子的解读是这样的，他用手指着第一根线和第二根线之间空白的部分，告诉我说这代表一份。”华应龙对记者说，“如果我当时武断地去批评他，告诉他做错了，那么我们就扼杀了他这种独特的表达。”
　　所以，华应龙说：“作为教师，我们一定要树立一种观念，学生不是我们的对手，而是帮助我们缔造课堂生活的另一只手。在课堂上，正确的可能只是模仿，但是错误的一定是创新。当出现不一样的东西时，孩子一定是动脑筋了，不管是正确的还是错误的，都是课堂上的生命体，都是应该尊重的。”

　　“融”错——差错是一种资源
　　华应龙告诉记者：“差错本来就是一种资源，这是我研究的课题。早在1993年我就开始关注学生差错的问题。我发现真正有效的教学，就是面对学生的错误，帮助孩子解决它，让他下次不再错了。这些年来，我的教学成绩都很好，就是因为我在教学中有效地帮助学生纠正了错误，并且是从根上解决问题。”
　　对于数学来说，正确答案也许是唯一的，但是错误的回答却有它不同的故事。华应龙给记者举了一个例子：比如计算上的错误，老师往往认为学生粗心，其实计算问题往往是一种综合的表现。比方说24乘3，学生常会得出92的结果。经过调查他发现，这有三种可能性。一种可能是三四十二，写二进一，二进了一等于三，三乘三，变92了；还有一种可能是三四十二，写二进一，二四得八，进了一，得九；还可能是写成了23乘4。所以同一道题，错误的结果是一样的，但是原因却可能不一样。“明白的学生明白的道理是一样的，不明白的学生就各有各的困惑”。
　　感悟出这样一个道理之后，华应龙在和年轻老师交流的时候，常常会告诉他们：“要更多地去琢磨学生错误的原因究竟是什么？只有找到了这个原因，你才能去帮助他，而不是枯燥地、简单、机械地去强调规则，那是根本没用的。只有当他找到错误的原因自己醒悟了，才能真正地解决问题。否则，学生今天错了，明天还会错。“
　　因此，“融错教育”的第二层含义是“融”错，把错误融化。

　　“荣”错——犯错也是一种贡献
　　“很荣幸，我错过，错是一种贡献。”这是“融错教育”的第三层含义。华应龙说：“很多老师认为学生不该‘错’，而我认为学生可以‘错’，学校、课堂就应该是学生犯错的地方。”何况爱因斯坦也说过：“失败就是发现一条走不通的道路，这对科学就是很大贡献。”
　　因此，在北京第二实验小学，我们会听到学生这样说：“老师，刚才我是这么错的。”在这里，孩子们不再把犯错误当作一件见不得人的事，而是充分认识到错误是有价值的，所以才会说出来和大家一起分享。
　　华应龙说：“在这样一种融错的教育中，积淀下来的就是孩子创新的人格。在学习的过程，他不但掌握了知识，而且还养成了敢于尝试的良好习惯，错了、失败了，他会去分析，然后再不断地探索。这种教育能帮助孩子磨炼出百折不挠的意志品质。”

　　和学生分享精神大餐
　　在华应龙的课堂上，传递给孩子们的不仅有他对数学的理解，还有他对数学的热情和深深的热爱。“我们的课堂，我们的学生都是活的。你想有一个永远可以使用的技巧，这种追求就是错的。只有‘道’才是永恒的，这个‘道’就是李烈校长说的‘以爱育爱’。从学科教学的角度来说，就是以你对学科的爱，对课堂的爱，来育学生对这个学科、对这个课堂的爱。”华应龙身体力行地告诫身边的同行——只有你爱自己的课堂，孩子才会爱上你的课。
　　在华应龙看来，上课是老师带着自己精心准备的礼物来跟学生分享。学生是天生的学习者，一堂课应该是一顿精神大餐，在这个过程中，师生教学相长，师生共进。华应龙说，学生不是我们教出来的，我们只是用自己的思维方式，对学科的兴趣、热爱去影响学生，把学生沉睡的潜能唤醒，并激励他们思考。
　　“老师的作用就是影响、唤醒、激励！”华应龙如是说。
                                       
更新：2010-12-19 5:52:25 编辑：fengyefy

http://www.17xxw.com/Article/qtb ... 25130239_24373.html
本课使用《 新世纪小学数学教材六年级上册》

【课前慎思】

《圆的认识》一直是小学高年级数学的教学内容，几乎所有小学数学教学领域的名师大家都用过这节课来“吟诗作画”，各领风骚；后生新秀们更是频频用这节课来“小试牛刀”，异彩纷呈。

我在欣赏品味之余,发现我们对于“圆的认识”这节课教学内容的处理，主要存在以下三个问题：第一，注重组织学生通过折叠、测量、比对等操作活动来发现圆的特征，不重视通过推理、想象、思辨等思维活动来概括出圆的特征；第二，注重让学生学会“用圆规画圆”，不重视让学生思考“为什么用圆规可以画出圆”；第三，注重数学史料的文化点缀，不重视数学史料文化功能的挖掘。

我思考——“圆的认识”这节课究竟要讲什么?

我思考——“特征”是指“一事物区别于他事物的特别显著的征象、标志。”（《辞海》）那么，圆的特征究竟是什么?曲线围成、没有角、半径是直径的一半，是不是特征？“一中同长”的特征是不是需要下发空白研究报告，组织学生小组合作研究？这是不是为了“研究报告”而组织研究？这是不是教学上的形式主义?

我思考——半径和直径是不是应该“浓墨重彩”去渲染? “圆”的概念都没有给出,是否需要咬文嚼字地概括出“半径”和“直径”的概念？揭示两者概念后，让学生从一个圆内各个不同的线段中挑出“半径”和“直径”，有没有哪位老师见过学生有错？学生都不会有错的活动，要不要组织？这样的活动是不是教者自作多情、自娱自乐？

我思考——半径和直径的关系是不是教学难点，要不要研究，是否“顾名思义”就可以理解？得出关系后的填表练习，究竟是练习的两者关系，还是练习的乘以2和除以2的口算？我们是不是总是好为人师，以为我们不讲学生就不会？是的，熟能生巧，但熟还能生厌，那熟是不是还能生笨呢?现在的学生在课堂上是不是很少“不懂”装“懂”，而更多的是不是精明地“懂”装“不懂”？

我思考——量出半径都相等,就科学、深刻吗?在一个圆内，半径和直径真的画不完吗？画不完就能说明“半径有无数条” 吗？ “半径都相等”和“直径都相等”要不要加上前提条件“在同一个圆中或等圆中”？我们说“正常人的两条腿是一样长的”，怎么不加上前提条件“在同一个人身上”？以后再说“正方形的四条边都相等”，还要不要加上“在同一个正方形中”呢？数学上的严谨就是这样的吗？要加上前提条件“在同一个圆中或等圆中”，这是不是教学内容上的形式主义?

我思考——圆的画法是应该教,以促进学生更好地学，但应该一、二、三地教吗?是不是在学生容易疏忽的两个地方“手拿住哪里”、“两脚之间的距离是直径还是半径”点破就可以了?学生抑或老师画出的不圆，是否就该随手擦掉？那些“不圆”的作品，是不是课堂中的生命体？是否应该珍惜？

我思考—— 我们的小学数学教学是否应该不仅关注“是什么”和“怎样做”，还应该引导学生去探究“为什么”和“为什么这样做”？这样是不是才凸显出“数学是思维的体操”这一学科特色？是不是应该带领学生经历从现象到本质的探究过程，促使学生养成研究问题的良好意识？“问题是数学的心脏”，我们数学老师是否可以给学生一个问题模式,让学生“知道怎样思维”，让学生掌握作为一种“非言语程序性知识”的思维？

我思考——“圆”的意蕴实在是丰富，借着这么“圆满”的素材,我们是否可以在培养学生批判思维和突破常规的创新思维上做些文章，引导学生思考“一定这样吗”?柳暗花明、曲径通幽、殊途同归的心理体验，是否更有利于学生的可持续发展？

我思考……

经过一段时间的慎思明辨,我认识到“圆”这一节课应该讲的有价值的东西实在是太多，有舍才有得，一课一得足矣!

【教学目标】

1. 认识圆的特征，初步学会画圆，发展空间观念。

2. 在认识圆的过程中,感受研究的一般方法,享受思维的乐趣。

【教学过程】

一、    情景中创造“圆”

1.课件创设问题情景。

2.学生表达自己的想法。

3.展示学生的作品。

二、追问中初识“圆”

1.结合学生作品，追问：是什么？为什么？

2.课件动画演示。

3.研讨圆的特征。学生说，古人说。

4.质疑古人说法。“大方无隅”。

三、  画圆中感受“圆”

1. 画一个直径为4厘米的圆,并标上半径、直径。

2.从不圆中，感悟圆的画法。

3. 追问“为何这样做？”

四、  球场上解释“圆”

1.出示篮球场。

2.播放篮球开赛录像。

3.探讨大圆的画法。

4.追问大圆的画法。

五、  回归情景突破“圆”

1.出示爱因斯坦的名言:“我没有什么特别的才能，不过喜欢寻根刨底地追究问题罢了。”

2.追问中提升认识。

六、  课后延伸研究“圆”

1.依一天时间顺序，配乐出示各种各样的圆。

2.让学生选择感兴趣的追问研究。

【试教后的反思】

非常成功，非常享受！已经拖课了，学生还是不愿意下课。

师父张兴华满意地对我们几个徒弟说：“应龙的这节课，我就七个字——浑然大气铸成圆！”

认识决定行为。已有的会成为包袱。备课时，我就觉得半径、直径不要像原来那样教，一问学生“这是一个多大的圆”，学生就会说出“半径、直径”。课堂事实也是这样，就让自己不再思考了。试教后一反思，才发现“宝物在哪儿呢？”是个更妙的问题，首先是回答了探讨的问题,其次是凸显了圆心定位置，半径定大小。现在想来，这样问，味道好极了！

正像电影《阿甘正传》中，阿甘妈妈对阿甘说的：“要想往前走，就得甩掉过去。”是啊，我今天的教法不就是想“甩掉过去”吗？但甩掉别人的过去容易，甩掉自己的过去就难了。否定别人容易，否定自己难。我是这样，听课老师会不会也是这样，而不肯接受我这节课呢？应该坦荡荡,何必长戚戚，“我的地盘我作主”，30年后再说吧。哦，我不该这样想，数学研究者往往是孤傲的，认为只有自己发现的“1”才是对的，我应该再思考，再否定自己，就像硬汉海明威说的“比别人优秀并无任何高贵之处。真正的高贵在于超越从前的自我”。

顿悟：几何画板上显示“正多边形和圆的关系”应该从正六边形开始，这样暗合了刘徽割圆术也是从正六边形开始的，并且解决了几何画板上正三角形不正、看着不舒服的问题，还解决了与前面研究正三角形、正方形、正五边形、正六边形“一中同长”重复的问题。哈哈，反思真好！

课上学生画出的“不圆”的资源化运用,感觉真好：有方法上的启迪、情感上的善意、借走橡皮的回应，那意境真有林黛玉说的“留得残荷听雨声”的美妙。

在完成了为什么没有规矩也画成了圆的追问，我说——是啊，圆心只能“一中”，半径一定“同长”。当我们真正理解了祖先的“圆，一中同长也”，才知道以前听说的“圆心”、“半径” 是多么重要的两个词啊！——之后，看到学生闪亮的眼睛，我心里真舒畅。这样不就把经验、直观与抽象结合起来了吗？数学的抽象首先是一个过程，其次不就是建立一套术语概念系统吗？

……  ……

整体感受——在学生需要教的时候再教，效果就是好。看来我说“教是因为需要教”，没错！

自己以前也教过《圆的认识》，为什么没有今天这么享受呢？莫名地，我想起《老子》第四十五章：“大成若缺，其用不弊。大盈若冲，其用不穷。大直若屈，大巧若拙，大辩若讷。……”这几句话的意思是：完全做成的东西，看上去好像缺了些什么，但用起来却一点也不差。完全装满水的容器，看上去好像是空的，但用起来却一点也不少。非常直的东西看上去却好像是弯的，大的机巧看上去倒好像很笨拙，特别善辩的人看上去倒好像不会说话。

那，我“成”在哪呢?在没有增加新知识点的情况下，上得学生不愿意下课。让学生体验到不同现象背后的本质是一样的，让学生体验到认识事物“特征”的价值，让学生认识圆的“规矩”的同时感受了研究问题的“规矩”，让学生体验到追问“为什么”是一件很有意味的事情……爱因斯坦曾经说过这样的话:“用专业知识教育人是不够的，通过专业教育，学生可以成为一种有用的机器，但不能成为和谐发展的人。要使学生对价值（社会伦理准则）有了理解并产生出热烈的情感，那才是最基本的。”

那，我“缺”在哪呢? 这一节课，对原来所重视的基础知识和基本技能淡化了，学生发展的情况究竟如何？

以前，我教《圆的认识》时，总是觉得这不能丢，那也不敢掉，把自己扣牢在自己和他人一起画就的小圆里……

哈哈哈，现在的我真是在理想“圆”里！

为什么以前的我没能、没敢这么上？教学的能力不到, 教学的勇气不够，教学的追求没有……

为什么今天的我能这么上、敢这么上？课程改革的深入，百花齐放的氛围……大抵还源于自己对自己和他人教育实践的过程和结果的意义和价值的哲学之思。

“花未全开月未圆”，大成“有”缺。革命尚未成功，同志仍需努力！

拖课了，总是不好，如何在40分钟内和学生交流？要舍什么？

这节课，多处引经据典，是否过“度”了？“度”是几处呢？数学味淡了？那我们的课堂是为了学生的发展，还是为了上出一堂“数学的课”？话又说回来，哪一处又是与“数学”无关呢？是否只是“顺手一投枪”（鲁迅语）？那老师“顺手”多了，学生是否会目不暇接、“审美疲劳”？

http://www.17xxw.com/Article/qtb ... 25130239_24373.html
整理：云山 雪燕子　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
【教学目标】
1. 认识圆的特征，初步学会画圆，发展空间观念。
2. 在认识圆的过程中,感受研究的一般方法,享受思维的乐趣。

【教学过程】
　师生问好。
一、情景中创造“圆”
师：同学们请看题目：
      “小明参加奥林匹克寻宝活动，得到 一张纸条，纸条上面写的是：宝物距离左脚三米。”宝物可能在哪呢？
生思考
师：有想法，你的桌子上有张白纸，上面有个红点，你们找到了吗？
生：找到了
师：那个红点代表的是小明的左脚，如果用纸上的1厘米代表实际距离的1米的话，能 把你的想法在纸上表示出来吗？想，开始。
学生动手实践，师巡视。
师：真佩服，真佩服，我们西安的小朋友真棒！会动脑子，。除了你表示的那个点，还有其他可能吗？
生思考。
师：好，很多同学都想好了，我们来看屏幕。红点代表小明的左脚，[课件演示：在红点右侧找出一距离红点3米的点]刚才我看到，很多同学都找到了这个点，找到的同学举手。
生纷纷举手。
师：除了这一点，刚才我看到，还有的同学找到了这一点。[课件演示：在红点左侧找出一个距离红点3米的点]还有这一点，这一点[课件演示：分别在红点上下的距离为3米的点]我看有的同学还画了这些斜点，是吗？还有其他的可能吗？[课件演示：越来越密，最后连成了圆]
师：想到圆的举手。哇，真佩服，刚才我看有的同学都画出圆了，是吗？看屏幕，这是什么？认识吗？
生：认识，圆

二、追问中初识“圆”
师：那宝物可能在哪里呢？
生：在圆的范围内，在圆的这条线上。
师：你刚才的说法很有意思，先说“在圆的范围内”，后来改成“在圆的这条线上”。如果在范围内，距离不够3米，如果在圆上，距离够3米。那你们怎么告诉小明呢？如果宝物在圆上，怎么表达告诉小明呢？
生：可以这样对小明说：“以你的左脚为圆心，画一个半径为3米的圆。在这个圆的周厂上取任意一点，这个地方也许就是埋宝物的地方”。
师：同意吗？真厉害。刚才她说到两个词，一个是以左脚为“圆心”还有一个是半径多少？[板书：圆心，半径]
生：3米
师：就用上这两个词，就很准确地表达出了圆的位置，对吧。如果只说以左脚为圆心，不说半径3米，告诉小明，宝物啊就在 以你左脚为圆心的圆上。行不行？
生：不行
师：为什么不行？
生：如果只告诉左脚是圆心的话，那圆可以无限延伸。就没法掌握圆的周长是多少。
师：那个圆可以无限延伸。我理解他的意思了，你理解了吗？
生：理解了。
师：也就是说圆的半径没定，圆的大小没定。对不对。
生：对
师：这样的话，可以画多少个圆，可以无限延伸，对不对。那如果不说“以左脚为圆心”行不行？
生：不行，那样圆的位置就可以无限延伸，。
师：除了说“以左脚为圆心，半径为3米的圆上”还可以怎么说？生活中听说过吗？
生：也可以说直径是６米。
师：同意吗？
生：同意。
师：可以说：以左脚为圆心，直径为——”
生：６米
师：对。这个“直径：也能表达圆的大小。［板书：直径］
师：为什么　宝物可能所在的位置会是一个圆呢？
生：因为在一个圆内，所有的　半径都相等。
师：哦，他说了这个。什么　宝物可能所在的位置会是一个圆呢？
生：因为以他的左脚为圆心，他可以随便走一圈，就变成圆了。
师：哦，可以随便走一圈。方向没有定，是吧。这也是另外一个角度看问题。刚才两个同学说的都很有道理，不过要很好的说明这个问题我们可以用”圆的特点“来说明。你觉得圆有特点呢？
生：我觉得圆有无数条半径，无数条直径。
生：圆心到圆上任意一点的距离都是相等的。
师：我们说图形的特点的时候一般要和以前学过的图形作比较。一句话，有比较才有结论。［课件：三角形，正方形等］以前我们学过三角形，正方形等。我们以前说图形的时候往往从“边”和“角”两个角度来说明，那你看，从　边和角的角度来看，圆有什么特点呢？
生：它既没有棱也没有角。
师：同意吗？同意的请点点头，她说圆没有棱也没有角，对吗？
生：对
师：没有棱是什么意思？
生：没有棱是说它没有边，它不象正方形有４条边。
师追问：那它是没有边吗？
生：不是，有边。
师：有边，几条边？
生：１条。
师：那你们说圆的边和我们以前学过的图形有什么不同？
生：以前学过的图形的边是直线，而圆的边是曲线构成的。
师：同意？
生：同意。
师：看来我们从角来看，圆是没有角的。从边上来看，圆有没有边？
生：有！
师：有，几条边？
生：一条边。
师：这是圆很特别的地方。其他图形，最起码有３条边，而圆呢？只有一条边。并且它的边怎样？
生：是曲线的。
师：是曲线的。其他的是直线或者说是线段围成的。
师：圆，我们从边和角来看是这样的特点。我们的祖先墨子说：圆一中同长也［板书］知道这句话什么意思吗？一中指什么？
生：圆心
师：同长，什么同长？
生：半径
师：半径同长，有人说直径也同长。同意古人说的话吗？
生：同意。
师：“圆，一中同长也”。难道说正三角形，正四边形正五边行不是“一中同长”吗？
认为是的举手，认为不是的举手　。为什么不是呢？
生：这些图形中心到角的距离比到边的距离要长一些。上前面指着说。
师：这些图形是不是一中同长？
生：不是。
师，不是的理由就是：从这个中心到边上的点跟到顶点的点的距离就不一样。那有没有一样的？正三角形里有几条一样的？
生：３条。
师：正方形呢？
生：４条。
师：正五边行呢？
生：５条。
师：正六边行？
生：６条。
师指圆：
生：无数条。
师：无数条？［板书］为什么是无数条？
生：圆心到圆上的半径都相等。所以有无数条。
师：我们解决的是什么问题？
生：我们解决的问题是相等的半径有无数条。
师：为什么有无数条？
生：圆心到圆上的距离都相等。
师：圆周上有多少个点？
生：无数个。
师：这些点和圆心连起来当然就有无数条，是吧。圆周上有无数点，请问：从这到这有多少个点？［指圆弧线］
生：无数个。
师：这些图形一中同长的条数是有限的，而圆从圆心到圆上的距离都是一样的。古人说的“圆，一中同长”你认同吗？
生：认同。
师：经过我们讨论更认同了，不过刚才有同学说圆是没有角的。圆只有１条边，边是曲线。究竟哪个更重要呢？我们来看［课件出示椭圆］这个图形是不是没有角的。是不是只有１条边，边是曲线。它是圆吗？它一中同长吗？所以说一中同长是圆最重要的特征。墨子的这一发现比西方早了１０００多年，谁能学古人的样子读一读？？
生读。
师：圆有什么特点？
生：一中同长。
师：我们来看小明的宝藏在什么范围？我们第２个问题解决完了吗？

三、 画圆中感受“圆”
1从不圆中，感悟圆的画法。
师：孩子们，想自己画一个圆吗？ 画圆用什么？
生：用圆规。
师：古人说：没有规矩，不成方圆。大家看，规就是圆规、矩就是带着直角的尺。规是用来画圆的，矩是用来画方的。
师：既然大家都回会画？画一个半径为4厘米的圆
（生自己画圆）
师：画好了吗？
（展示学生的作品，学生此时的作品都不怎么标准）
师：从这些圆里，我们是否可以想象，它们是怎样创造出来的？
师：看来画圆并不是一件很容易的事，小组里交流一下，怎样画圆才能标准？
（生小组交流）
师：大家交流完了，好了。那现在你们说一下是怎么画的？
生：用圆规
师：了解圆规的发展，现在圆规的优点在哪里？
师：用这样的圆规画圆，手必须拿着哪，圆规就不动了？
生：拿着圆规的头，不能捏着它的两条腿。
师：对，就是拿住圆规的头，而不能捏着它的两条腿。
*（课件出示：再画：一个直径是4厘米的圆）
生画，师巡视
师：哎呀，老师在巡视时，我发现你们画的较规范的圆，大小不一样，为什么？
生：这里要我们画的是直径4厘米的圆。
师：你知道什么是直径吗？顾名思义，它和半径是什么关系？
生：直径是半径的2倍。
师：订好距离，就是圆的半径。
师：孩子们，谁愿意上来画一画。这个机会老师留着了。
师：展示画圆，故意出现破绽一：没有“圆”上？破绽二：没有画完？
生：两脚之间距离变化了；粗细不均匀；
师：你们真仔细，我把汗都画出来了。
2标上半径、直径。
师：学生标直径和半径；你说在画半径时特别注意什么？
生：在画半径时特别注意对齐圆的圆心，画完后表上字母r；
师：半径有两个端点，一个端点在（圆）上，另一个端点呢？
生：圆心；
师：再画一条直径；刚才他画的时候你注意到了吗？应该特别注意什么？那位戴眼镜的小伙子。
生：一定得通过圆心。
师：直径用字母d表示，数学上就是这么规定的。d和r是什么关系？
生：2倍，d=2r。
师：画圆是怎样画的？
师：先确定一条半径，也就是两脚之间的距离，然后确定一个圆心，再旋转一圈。为什么随手就能画出一个圆呢？
生：圆规画长是半径
师：为什么这么做呢？先确定圆心，半径长度。
生：圆心到圆上的距离就不相等了
师：圆的特点：圆一中同长。知道圆的特点太重要了。
四、球场上解释“圆”
1.出示篮球场。
师：是什么？中间是什么？中间为什么是个圆？不知道篮球比赛是怎么开始的，不能回答这个问题，我们一起来看。
2.播放篮球开赛录像。
师：为什么中间要是个圆呢？
生：刚开始比赛要往对方场地传球，这样中间画圆比较公平。
师：队员在圆上，球在中心。圆一周同长，比较公平。
3.探讨大圆的画法。
师：这个圆怎么画？
生：先找到圆心，两点间距离固定好，再画
师：大圆，再大，超大呢？没有圆规可以画？
生：用大拇指当圆心，用食指画
师：画大圆？
生：确定圆心半径再画。
师：这个大圆，没有圆规怎么画？
生自由交流
4.追问大圆的画法。
师：不是没有规矩不成方圆吗？怎么没有圆规也能画圆？
生：规矩不一定单独指圆规，指的应该是画图的工具。我们可以用不同的工具来画。
师：我们这句话还是对的。

五、回归情景突破“圆”
1.出示爱因斯坦的名言:“我没有什么特别的才能，不过喜欢寻根刨底地追究问题罢了。”
2.追问中提升认识。
师：一定这样吗？宝物一定是在以左脚为圆心，半径是３米的圆上吗？［课件：西瓜］宝物可能在哪里？
生：地下。
师：拿西瓜说事。我们就想到球了，球也是一中同长。圆和球有什么不同？
生：圆是平面图形，球是立体图形。

六、 课后延伸研究“圆”
依一天时间顺序，配乐出示各种各样的圆。

——评华应龙《圆的认识》一课
●北京  刘加霞
http://www.jybpx.com.cn/Article/a/200803/243.html

　　普普通通的“圆”引出的是不普通的话题。
　　听过华应龙老师执教的《圆的认识》的老师，大都为其“大气”的教学设计以及实施所折服，认为：新颖，精炼，有品位，智慧，自然，活跃，从容，幽默；教者潇洒自如，上课得心应手，学生学得轻松，知识掌握牢固……
　　但也有这样的评价：有创意，但有争议；轻松、智慧、大气但有疑惑；满怀希望——比较失望；作秀——无意义……
　　有争议有质疑正是社会进步的表现，正是课程改革能够深化的动力。
　　质疑与争议的焦点在哪里呢？我们以“事实与证据”说话——课后即对部分听课教师（60人，其中江苏、北京各30人）做了问卷调查，调查结果如下表。
　　总之，听课者担心基本知识和基本技能没有落实到位，不“扎实”。现在我们就来讨论其中的一些话题。

　　一、是教“定义”还是让学生经历“定义化”？
　　有的教师认为，华老师的课中，关于圆的半径、直径的定义及其它们之间的关系是一笔带过的，学生尤其是后进生能掌握圆的这些基本知识吗？
　　这位教师的评价非常中肯，本课确实淡化了这些概念的“定义”，相反却非常重视对这些概念本质的理解：
　　是什么（小明“寻宝”）：在思考与尝试中初步感知“圆是到定点的距离等于定长的点的轨迹”，初步感知确定“圆”的两个核心要素：圆心、半径。
　　为什么是圆：通过与正多边形的对比研究，再一次感悟到“圆”之所以为“圆”的关键是所有半径都相等。
　　怎么画圆：通过对学生“非圆”作品以及如何在篮球场上画一个大大的“圆”的分析，再一次强化“圆”之所以为“圆”的核心：到定点的距离都相等。
　　所以说，整堂课对“圆”本质的教学可谓“浓墨重彩”，让学生真正理解“圆为什么是圆”这一个看似不是“问题”的重要“问题”。
　　我想教师的这种担心不无道理，因为在华老师的课上没有明确写出“圆心”、“半径”、“直径”的定义，也没有再进一步让学生练习这样的题目：给出半径的数据求直径或者给出直径的数据求半径；画出一个“圆”并标出一些非直径或者非半径的“线段”让学生来判断；也没有出几个像“从圆心到圆上任意一点的距离都相等”之类的判断题，因而听课教师认为练习不够，不能很好地强化学生的理解，“后进生”怎么办？一句话，听课教师的心里不“踏实”。
　　但学生的后测结果表明，由于学生充分地经历了“圆”的形成过程，由于教师处处以圆的两个核心要素为重点来展开教学，因此，即使课堂上不练习这样的“问题”学生仍然没有“问题”。
　　听课教师这种担心的背后实际上折射出教师的一种教学价值判断：我讲过的、练习过的“题目”就应该会解决，没有练过的就可能不会（甚至不会也是应该的）。教师的要求太低了，学习难道就是解决曾经解决过的问题？忘记了把握概念的本质并掌握解决问题的方法才是解决一切“问题”的法宝。
　　这种担心的背后更折射出教师的几何教学观：我们是教“定义”还是让学生经历“定义化”的过程？
　　对此，荷兰著名数学家、数学教育家弗赖登塔尔早就有过精辟的论述①：
　　儿童用逻辑方法组织活动的能力有着一个持续但并不连续的发展过程。在最初阶段，他们通过手、眼以及各种感觉器官进行思维，经过一段时间的亲身体验，通过主动的反思（笔者注：核心是追问“为什么”），就会客观地描述这些低层次的活动，从而进入一个较高的层次。必须注意，这个高层次的达到，绝不能借助算法或形式的灌输来强加给他们。
　　我们实际的教学是否有很多是“借助算法或形式的灌输来强加给他们”的？展示几幅关于“圆”的美丽图片，再问问“这些都是什么形状”，抽象出“圆形”，紧接着就给出“圆心”、“直径”、“半径”的定义，并做练习巩固强化。这是小学的几何教学吗？靠这样的“形式化”的“强化”学生就理解了？学生就掌握了？学生对“几何”以及几何学习会有什么印象？
　　他还接着说：
　　演绎必须始于定义，它是演绎推理链中的重要一环。但苏格拉底的教学理论（笔者注：实际上就是弗赖登塔尔的主张）不主张用定义来引入几何对象……它（定义）不是强加的，而是由直观萌芽逐步发展的，因而就学会了演绎地组织一个对象性质的方法。
　　在实际的科学研究工作中，多数定义不是事先想好的，而是组织、推理的结果。学生应该有权自己来发现，这样既直观、自然，又有相对性，可以充分体会定义的必要和作用，并且掌握等价的定义。
　　对此，我们以一个案例来说明。为了了解学生对于“圆”的已有认识和经验到底有哪些，我们选择不同年级的学生做了前测，我以我女儿（小学三年级学生）作为观察对象之一，下面是其中的一段对话过程：
　　笔者：下面这幅图中哪条线段是直径？（略）

　　女儿：妈妈，什么叫“直径”啊？
　　笔者：你自己看，自己决定吧。
　　女儿：3号是直径。
　　笔者：为什么啊？
　　女儿：因为它是“直直”的，“直径”、“直径”嘛！
　　笔者：其他的线段就不是“直直”的？
　　女儿：是斜的，哦，也是“直直”的，因为3号最长。
　　到底什么是“直径”？女儿创造的“定义”——圆上最长的线段——是否可以作为直径的等价定义？学生对于几何图形是否都有“直觉”？什么最容易被学生“直觉（知觉）”到？显然是“长度”，因此“距离”是学生学习、研究几何图形时最容易感知与理解的一个概念。
　　让学生在动手、动脑的操作中经历“圆”的形成过程，并追问“圆为什么是圆”的理性推理过程，使得“直径”、“半径”、“圆心”的定义呼之欲出，因此，完全可以让学生自己来“创造”定义进而理解定义。在华老师的课上，就是通过如何“标出”直径、半径来强调这一点的：
　　师：对，圆规两脚的距离就是半径。那现在我也来画一个圆！
　　……
　　生（几乎是喊着）：2倍关系！一半！（教师板书：d=2r。）
　　（该片段详见前文课堂实录，编者注）

　　二、对于“圆”，学生已有哪些认识？
　　听完华老师的课，有很多教师担心思维慢的学生，尤其是后进生真正掌握“圆”了吗？其顾虑仍然是前面所说的没有强化定义，没有做相应的练习（后测结果表明，教师多虑了）。即使是后进生，对前面所说的练习有困难吗？学生对“圆”到底有哪些认识？
　　对此，我们选择了北京市一所城区小学的六年级学生、北京市某郊区一所农村小学的五、六年级学生以问卷的形式进行调研，对我女儿以观察、访谈的形式进行了解，结果如下：
　　1． 总体看，城区小学学生的得分远远高于农村学生的得分。
　　2． 100%的学生能够正确地辨认出“圆形”，能够正确地标出哪条线段是直径。
　　3． 填下面表格时，学生的差距比较大，但其原因不在于学生不理解直径与半径的关系，而在于教师的引导：当学生追问“什么是直径”、“什么是半径”时，如果教师鼓励学生按照自己的理解来判断，学生解决表格中的问题，几乎都没有问题（除个别学生计算上的失误以及做某个填空时误以为第一行给出的是直径，第二行给出的是半径）。而在做农村六年级学生的测试时，教师没有鼓励学生按照自己的理解来解，而是说“如果会就做，如果不知道就空着，不用填”，大约70%的学生没有做这个填空题。因此，从得分来看，五年级学生远远好于六年级学生。
　　4． 当要求学生画一个半径为3厘米的圆并标出一条半径、直径及圆心时，城市小学的学生几乎百分之百能够解答（除个别学生“徒手”画圆）。农村学生约50%是 “徒手”画圆（几乎都像“圆”，学生在力图保证到“定点”的距离相等），约50%没有留下任何“痕迹”，卷面是空白的。
　　三年级学生解决这个问题的过程如下：
　　先是“徒手”画圆，感觉“不圆”，自己的归因是“不认真”，然后又“认真”地“徒手”画了一个“圆”，仍然有的地方“瘪进去”了，最后自己终于发现“要用圆规画圆”，找到圆规后就能正确地解决这个问题。
　　5． 小明说：“圆没有棱角，是圆圆的。”他说得对吗？请把你的理由写下来。几乎100%的学生认为他说的正确，但不能清晰地写出理由。个别学生认为他说得不对，例如，有学生说“圆不是没有棱角，而是有无数个棱角”，有的画出了圆的“圆心角”、“圆周角”，所以他认为“圆也有角”。
　　通过前测调研，我们认为学生对于圆的认识没有本质上的区别，对“圆”都有一种“直觉”，差距在于是否听说过“直径”、“半径”、“圆心”等名词术语，更大的差距在于学生是否敢于挑战自己：
　　学习敢于从自己“朴素”的理解开始吗？敢于自己给某个概念下“定义”吗？是否有尝试“错误”的愿望与勇气？是否有“教师没有讲，我也能会”的自信心？
　　一句话，学生的差异不在于知识储备的多少，而在于是否有一定的学习方法与学生的数学学习观是什么。

　　三、数学文化该如何渗透？
　　有教师认为：本课过分注重数学知识的人文背景，向学生充分展示了圆的文化内涵……但在基本的数学知识与数学能力方面，学生并未上升到数学的理性与概括阶段。
　　真是这样吗？关于圆，“上升到数学的理性与概括阶段”是什么样子？数学文化的价值是什么？
　　在当前的小学数学课堂教学中，教师们开始尝试数学文化的渗透，但现在也出现了偏颇：课堂上出现“古人说”、引用数学历史上的史料就算是渗透数学文化吗？对此，我们缺少对“什么是数学文化”以及如何发挥数学文化的教育价值的追问，“数学文化”因而很容易成为课堂教学的点缀与装饰品。
　　对于什么是“文化”，我不敢谈论，但文化应包括三个层面的内涵：器物、制度、精神。数学文化也是这样，课堂教学中数学文化绝不能仅仅是“器物”的呈现，更重要的是制度（原理、方法等）、精神与信念的渗透，是用来帮助揭示教学内容的本质，要用得恰到好处。
　　在华老师的课上，当学生经过操作、追问等活动理解了“圆为什么是圆”后，引出《墨经》中的“圆，一中同长也”，学生感悟到的是：我们非常聪明、古人更聪明，那么早就能够抓住事物的本质，更能体验到中国语言文字是高度凝练与概括的，进而体验到民族自豪感。
　　当学生学会利用“对比”的研究方法，分析正多边形与圆的联系与区别后，并利用“课件”真正“看到”正N边形（当N越来越大）就是“圆”时，出示老子的经典概括“大方无隅”，学生的感悟又会是什么？除了前面所提之外，是否又从另一个角度高度概括了圆的本质？是否让学生初步感悟到了“量变导致质变”的哲学思想？是否让学生体验到了“无限”世界中的神奇与美妙？
　　当学生利用圆规画圆后，教师说出“没有规矩，不成方圆”，学生是否体验到了成语的内涵？是否体验到了语文与数学的密切关系？是否意识到要换个角度看待所要学习的各学科？
　　当学生不能用圆规画篮球场中的大圆，而是想尽一切“办法”画圆后，教师又谈到“没有规矩，不成方圆”，学生是否感悟到画圆不在于是否必须用“规”，而在于必须满足“到定点的距离等于定长”这一圆的本质特征？从而理解“规矩”并不是具体的“规”与“矩”，而是“道理”或者“原理”？再进而明白这也是做人和做研究的道理？
　　经历这样的教学过程，学生理解了“圆，一中同长也”、“大方无隅”、“没有规矩，不成方圆”这三句话，这不正是对圆的本质以及特征的高度概括吗？
　　课堂教学永远是“我的地盘我作主”。其前提是：把握学科本质+研究学生。
注释：
　　① 弗赖登塔尔：《作为教育任务的数学》，上海教育出版社（1995年），第284页。
　　（责任编辑  余慧娟）

http://www.fyeedu.net/info/129258-1.htm作者：春风含笑 ｚ 来源：ＸＳＫ 点击：152次 评论：0条               

近日，某教育杂志记者对特级教师华应龙进行了专访，以下是其中的部分访谈记录，或许大家能从中感受到不一样的华老师！

记者：华老师，你好！作为数学教师，你上课、写作提到的古代名人名言似乎比一般语文教师还要多。比如，你在探讨课前五分钟怎么处理这个问题的时候，对于它的重要性，你用了“不愤不启，不悱不发”这句话，确实非常准确。

华应龙：这句话本身就隐含着教育哲理。为新课创设“愤”和“悱”的情境，做好教学埋伏，是为了让学生感到新的学习任务有诱惑力，从而感到饶有趣味。这是需要非常高的教学艺术的。诚如巴班斯基“最优化理论”所告诉我们的，如果在完成一项任务的同时，还能尽量促进其他任务的完成，那么这一活动便是最佳的。

记者：可以说你的课堂形态跟很多老师是不一样的。这种不一样是怎么来的？

华应龙：老师们听完我的课后常常说，这样的课几乎就是为华老师定做的——尽管这个课时我上出来的，但他们常常这样说，他们很喜欢。要说这个“不一样”，我想最主要的就在于，我的课堂可以让你感觉到一种在其他课堂上很难感觉到的东西。

记者：比如？

华应龙：我觉得是，我做到了把数学作为一种文化来对待。我在教学《计算器的使用》一课时，为了让学生明白使用计算器的最高境界是借助计算器解决计算器解决不了的问题，我组织学生比赛，看谁先算出挑战题“22222222×55555555=？”的结果。在学生感到山重水复之际，我说我要拿出“祖传秘方”，于是给每个组一个装有“祖传秘方”的信封。学生在计算了“2×5=？”、“22×55=？”、“222×555=？”之后，发现了规律，很快报出了挑战题的答案。回顾总结，我相机出示了老子的“天下难事，必作于易；天下大事，必作于细”。就是这个意思。我认为，一节好的数学课应该像老子说的，叫“有无相生”。

记者：从你的谈话中，我感觉古典书籍对你的影响更深一些。你觉得对你帮助最大的，或影响最深的数是什么呢？

华应龙：应该是《老子》。

记者：这本书你看了多少遍？

华应龙：我估计不少于钱20遍吧。

记者：你从什么时候开始看的呢？

华应龙：差不多10年了吧。

记者：为什么是《老子》呢？大家似乎觉得《论语》更接近些。

华应龙：我记得有一位很厉害的院士，他对他的研究生们说，“我们这个专业要读的第一本书就是《老子》，五千字里乾坤大，好好看”。我现在包里就有一本《老子》。我家里有关老子的书多着呢，陈鼓应先生的、任继愈先生的、南怀瑾先生的、王蒙先生的、傅佩荣先生的、李零先生的，等等。

记者：你是副校长，你要求老师们也看这个吗？

华应龙：我们鼓励老师看，鼓励青年教师看。我觉得《老子》的思想应该进入教师的教育观念里面。作为我个人，我大体看两类书，一类是和本学科有关的，数学的，比如《神奇的数学世界》，我必须看，不看就深入不下去；另一类是学科以外的，如果不看，肯定“厚”不下去。

记者：这样理解不知道对不对——数学将世界简化为1，用1、2、3去理解世界，解读世界，说明世界。你从《老子》那里去打开教育的视野，这是很对的，是一个教师实现自我突破、飞跃所必须做的。我们确实需要以整个人类文化这样的大视野来观照我们的教育教学。

华应龙：数学文化本身是很灿烂很辉煌的，但我们现在的教材，对于数学文化，只是作补白性的介绍，现实的课堂教学中更是少有涉及。数学史知识仅仅作为“阅读材料”放在一边，是一种“冰冷的美丽”，没有和实际的数学教育融为一体，激发学生“火热的思考”。这是令人遗憾的。

我曾经上过一堂“孙子定理”的课。当时就有人产生疑问：这个对小学生来说是不是太难了？但是我从“韩信将兵，多多益善”这个成语故事导入，在山重水复的时候推出“孙子定理”，讲解“一次同余式组问题”。

这种与数学史结合起来的数学活动课与一般的数学课不同，它不着意于让学生掌握某个知识，形成某个技能，而是重在活动，重在过程，重在参与，重在体验。

记者：有报道说你的课堂是一种“疯狂数学”，这个概念你认同吗？

华应龙：这个概念是我的一个学生提出来的。

当时说的时候这个学生还在四年级。有的老师上课喜欢拖堂，我是按时下课，学生不让。我说为什么。这个学生挺厉害的，她说我们上的是疯狂数学。当时我觉得这个提法挺好玩的。

记者：这个提法是不是和“疯狂英语”有些类似？

华应龙：可能有关，但是又不一样。疯狂英语还有肢体上的疯狂，而疯狂数学更多的是思维的疯狂，享受思维的快乐！与疯狂英语相同的一点就是——忘我！我觉得这一点是相同的。我是很认可“疯狂数学”这种评价的。

记者：最近你出版了《我就是数学——华应龙教育随笔》、《我这样教数学——华应龙课堂实录》两本书，应该说它们是你的“疯狂数学”的结晶吧。

华应龙：此前我主编、参编过20多本教材或教学用书，也发表了一些有关数学教育、数学教学的文章，但还没有出过一本“华应龙”一个人的书。这次总算了却了一个心愿。当然，这也是一个新的开始。在我的面前，还有很多我需要努力去跨越的。我常常想起《老子》的最后一句话：“圣人之道，为而不争。”

                                       
更新：2010-7-23 5:59:42 编辑：fengyefy

http://eblog.cersp.com/userlog13/124384/archives/2009/1178116.shtml

华应龙

卢梭：“误用光阴比虚掷光阴损失更大，教育错了的儿童比末受教育的儿童离智慧更远。”

在希腊文中，学校一词的意思就是闲暇。在希腊人看来，学生必须有充裕的时间体验和沉思，才能自由地发展其心智能力。正因为此，当下，不少有识之士纷纷喊出了“教育是慢的艺术”的口号。

美国学者贾尼丝萨博反培养“聪明的孩子”还是培养“智慧的学生”的两种教育概括为——

聪明的孩子	智慧的学生
1、能够知道答案	1、能够提出问题
2、带着兴趣去听	2、表达有力的观点
3、能理解别人的意思	3、能概括抽象的东西
4、能抓住要领	4、能演绎推理
5、完成作业	5、寻找课题
6、乐于接受	6、长于出击
7、吸收知识	7、运用知识
8、善于操作	8、善于发明
9、长于记忆	9、长于猜想
10、喜欢自己学习	10、善于反思、反省

其实花时间，不是慢条斯理，不是拖沓冗余，而是一种农人心态，一种道家风格，一种等待艺术。

如果说教育即生长，那么教育的使命就应该是为生长提供最好的环境。什么是最好的环境？第一是自由时间，第二是好的老师。

让学生充分“自主、探究、合作”，就更需要教师具人苏格拉底式的反问功夫，来催生学生的智慧。

……

课堂中，教师当“勇敢地退，适时地进”。让学生“磨洋工”之后，更需要彰显教师提炼、概括的功夫，促进更多的学生更好地发展。

……

也人反过来的，教师“画龙”，学生“点睛”。

在这样的课堂止，我们看不到教师急切地想把结论奉献给学生 的浮躁，看不到大部分学生 似懂非懂的照搬，看不到后进学生 不知所措的茫然，看到的是“采菊东篱上，悠然见南山”的美妙…

好课不在小技巧，而在大情怀。

感想：可贵的是一份大情怀，难的是智慧的反问与披沙拣金的提炼与概括。

http://www.fyeedu.net/info/129029-1.htm
    作者：食用油 来源：xsk 点击：218次 评论：0条

    1、居高临下驾驭教材；
    2、每天5分钟的口算；
    3、每周1篇数学周记；
    4、鼓励学生提出问题；
    5、倡导学生个性思维；
    6、重视学生动手活动；
    7、多让学生表达交流；
    8、合作突出思维碰撞；
    9、加强少数差生辅导；
    10、作业设计新颖有效。

http://www.casad.cas.cn/yslt/200508/t20050816_43743.html
中国科学院外籍院士 丘成桐
     
    中国古代文学记载最早的是诗三百篇，有风雅颂，既有民间抒情之歌，朝廷礼仪之作，也有歌颂或讽刺当政者之曲。至孔子时，文学为君子立德和陶冶民风而服务。战国时，诸子百家都有著述，在文学上有重要的贡献，但是诸子如韩非却轻视文学之士。屈原开千古辞赋之先河，毕生之志却在楚国的复兴。文学本身在古代社会没有占据到重要的地位。至于数学，中国儒家将它放在六艺之末，是一个辅助性的学问。当政者更视之为雕虫小技，与文学比较，连歌颂朝廷的能力都没有。政府对数学的尊重要到近年来才有极大改进。

    西方则不然，希腊哲人以数学为万学之基。柏拉图以通几何为入其门槛之先决条件，所以数学家得到崇高地位，在西方蓬勃发展了两千多年。

    很多人会觉得我的讲题有些奇怪，中国文学与数学好像是风马牛不相及，但我却讨论它。其实这关乎个人的感受和爱好，不见得其他数学家有同样的感觉，“如人饮水，冷暖自知”。每个人的成长和风格跟他的文化背景、家庭教育有莫大的关系。我幼受庭训，影响我至深的是中国文学，而我最大的兴趣是数学，所以将他们做一个比较，对我来说是相当有意义的事。

    一、数学之基本意义

    数学之为学，有其独特之处，可说是人文科学和自然科学的桥梁。

    数学家研究大自然所提供的一切素材，寻找它们共同的规律，用数学的方法表达出来。这里所说的大自然比一般人所了解的来得广泛，我们认为数字、几何图形和各种有意义的规律都是自然界的一部分，我们希望用简洁的数学语言将这些自然现象的本质表现出来。

    数学是一门公理化的科学，所有命题必需由三段论证的逻辑方法推导出来，但这只是数学的形式，而不是数学的精髓。大部分数学著作枯燥乏味，而有些却令人叹为观止，其中的分别在哪里？

    大略言之，数学家以其对大自然感受的深刻肤浅，来决定研究的方向，这种感受既有其客观性，也有其主观性，后者则取决于个人的气质，气质与文化修养有关，无论是选择悬而未决的难题，或者创造新的方向，文化修养皆起着关键性的作用。文化修养是以数学的功夫为基础，自然科学为辅，但是深厚的人文知识也极为要紧，因为人文知识也致力于描述心灵对大自然的感受，所以司马迁写《史记》除了“通古今之变”外，也要“究天人之际”。

    刘勰《文心雕龙》以为文章之可贵，在尚自然，在贵文采。历代大数学家如阿基米德如牛顿莫不以自然为宗，见物象而思数学之所出，即有微积分的创作。费尔玛和尤拉对变分法的开创性发明也是由于探索自然界的现象而引起的。

    广义相对论提出了场方程，它的几何结构成为几何学家梦寐以求的对象，因为它能赋予空间一个调和而完美的结构。我研究这种几何结构垂三十年，时而迷惘，时而兴奋，自觉同《诗经》《楚辞》的作者，或晋朝的陶渊明一样，与大自然浑为一体，自得其趣。

    在空间上是否存在满足引力场方程的几何结构是一个极为重要的物理问题，它也逐渐地变成几何中伟大的问题。尽管其他几何学家都不相信它存在，我却锲而不舍，不分昼夜地去研究它，“虽九死其犹未悔”。

    我花了五年工夫，终于找到了具有超对称的引力场结构，并将它创造成数学上的重要工具。当时的心境，可以用以下两句来描述：“落花人独立，微雨燕双飞。”

    以后大批的弦理论学家参与研究这个结构，得出很多深入的结果。刚开始时，我的朋友们都对这类问题敬而远之，不愿意与物理学家打交道。但我深信造化不致弄人，回顾十多年来在这方面的研究尚算满意，现在卡拉比——丘空间的理论已经成为数学的一支主流。

    二、数学的文采

    数学的文采，表现于简洁，寥寥数语，便能道出不同现象的法则。

    我的老师陈省身先生创作的陈氏类，就文采斐然，令人赞叹。它在扭曲的空间中找到简洁的不变量，在现象界中成为物理学界求量子化的主要工具，可说是描述大自然美丽的诗篇，直如陶渊明“采菊东篱下，悠然见南山”的意境。

    从欧氏几何的公理化，到笛卡儿创立的解析几何，到牛顿、莱布尼兹的微积分，到高斯、黎曼创立的内蕴几何，一直到与物理学水乳相融的近代几何，都以简洁而富于变化为宗，其文采绝不逊色于任何一件文学创作，它们轫生的时代与文艺兴起的时代相同，绝对不是巧合。

    数学家在开创新的数学想法的时候，可以看到高雅的文采和崭新的风格，例如欧几里得证明存在无穷多个素数，开创反证法的先河。高斯研究十七边形的对称群，使伽罗华群成为数论的骨干。这些研究异军突起，论断华茂，使人想起五言诗的始祖苏李唱和诗和词的始祖李太白的《忆秦娥》。

    中国诗词都讲究比兴，有深度的文学作品必须要有“义”、有“讽”、有“比兴”。数学亦如是。我们在寻求真知时，往往只能凭已有的经验，因循研究的大方向，凭我们对大自然的感觉而向前迈进，这种感觉是相当主观的，因个人的文化修养而定。

    文学家为了达到最佳意境的描述，不见得忠实地描写现象界。数学家为了创造美好的理论，也不必依随大自然的规律，只要逻辑推导没有问题，就可以尽情地发挥想象力，然而文章终究有高下之分。大致来说，好的文章“比兴”的手法总会比较丰富。

    数学上常见的对比方法乃是低维空间和高维空间现象的对比。我们虽然看不到高维空间的事物，但可以看到一维或二维的现象，并由此来推测高维的变化。我在做研究生时企图将二维空间的单值化原理推广到高维空间，得到一些漂亮的猜测，我认为曲率的正或负可以作为复结构的指向，这个看法影响至今，可以溯源到十九世纪和二十世纪初期曲率和保角映像关系的研究。

    事实上，爱因斯坦的广义相对论也是对比各种不同的学问而创造成功的，它是科学史上最伟大的构思，可以说是惊天地而泣鬼神的工作。它统一了古典的引力理论和狭义相对论。爱氏花了十年功夫，基于等价原理，比较了各种描述引力场的方法，巧妙地用几何张量来表达了引力场，将时空观念全盘翻新。

    同文学极为相似的是，从局部结构发展到大范围的结构也是近代数学发展的过程，往往通过比兴的手法来处理。几何学和数论都有这一段历史，代数几何学家在研究奇异点时通过爆炸的手段，有如将整个世界浓缩在一点。微分几何和广义相对论所见到的奇异点比代数流形复杂，但是也希望从局部开始，逐渐了解整体结构。数论专家研究局部结构时则通过素数的模方法，将算术流形变成有限域上的几何，然后和大范围的算术几何对比，得出丰富的结果。

    由于文学家对事物有不同的感受，同一事或同一物可以产生不同的吟咏。对事物有不同的感受后，往往通过比兴的方法另有所指，例如“美人”有多重意思，除了指美丽的女子外，也可以指君主，屈原《九章》：“结微情以陈词兮，矫以遗夫美人。”也可以指品德美好的人，《诗经·邶风》：“云谁之思，西方美人。”苏轼《赤壁赋》：“望美人兮天一方。”

    数学家对某些重要的定理，也会提出很多不同的证明。例如勾股定理的不同证明有十个以上，等周不等式亦有五六个证明，高斯则给出数论对偶定律六个不同的看法。不同的证明让我们以不同的角度去理解同一个事实，往往引导出数学上不同的发展。

    记得三十年前我利用分析的方法来证明完备而非紧致的正曲率空间有无穷大体积后，几何学家Gromov开始时不相信这个证明，以后他找出我证明方法的几何直观意义后，发展出他的几何理论，这两个不同观念都有它们的重要性。

    对空间中的曲面，微分几何学家会问它的曲率如何，有些分析学家希望沿着曲率方向来推动它一下看看有甚么变化，代数几何学家可以考虑它可否用多项式来表示，数论学家会问上面有没有整数格点。这种种主观的感受由我们的修养来主导。

    三、数学的品评与演化

    江山代有人才，能够带领我们进入新的境界的都是好的数学。

    好的工作应当是文已尽而意有余，大部分数学文章质木无文，流俗所好，不过两三年耳。但是有创意的文章，未必为时所好，往往十数年后始见其功。

    我曾经用一个崭新的方法去研究调和函数，以后和几个朋友一同改进了这个方法，成为热方程的一个重要工具。开始时没有得到别人的赞赏，直到最近五年大家才领会到它的潜力。然而我们还是锲而不舍地去研究，觉得意犹未尽。

    数学华丽的作品可从泛函分析这种比较广泛的学问中找到，虽然有其美丽和重要性，但与自然之道总是隔了一层。举例来说，从函数空间抽象出来的一个重要概念叫做巴拿赫空间，在微分方程学有很重要的功用，但是以后很多数学家为了研究这种空间而不断推广，例如有界算子是否存在不变空间的问题，确是漂亮，但在数学大流上却未有激起任何波澜。  

http://learning.sohu.com/20060418/n242838792.shtml
        时间：2006年04月18日07:48         我来说两句(0)         　

　　新的数学思想当时还没有达到能够把他们作为数学或者哲学论文的形式记载下来的程度.只是在1637年,笛卡尔致力于自己的大作<<更好地指导推理和寻求真理的方法论>>的著述,他在著作中还附加了一篇题为<<几何>>的附录,这时新的数学思想才得以实现.但是<<几何>>所包含的基本思想,早在还是一名年轻的志愿兵的笛卡尔在布莱达时就产生了.

　　笛卡尔所加入的军队无所事事.他对荷兰的地方已经相当熟悉了.特别是笛卡尔开始能听懂荷兰话,而且还会说.这位年轻的水兵借口到天主教的军队里服役,决定动身到德国去.当时,欧洲已经爆发三十年战争.他去德国,不得不绕道经过哥本哈根,革但斯克,波兰和匈牙利.笛卡尔到了德国之后,就报名参加了马克西米利安.巴伐利斯基公爵的军队.军队实际上是为了保护德国皇帝费迪南二世的利益而集结起来的.但是这种思想对他只是个比较小的诱惑.笛卡尔确实有一个全然不同的目的,就是扩大自己在科学界的交往,而做到这一点最好是多和皇宫的人接触.

　　关于笛卡尔参加战斗的情况的可靠报道保存下来的很少.可能他赶上参加了布拉格附近的白山战役,这是三十年战争的主要战役之一.我们现在只知道这次战役以后发生的事情.

　　他所厌烦的军队已经被他离弃,整个战争的变化已经成为过去,离开德国之后,他可以回家了.

　　这位士兵学者和他的仆人一起克服了战争所造成的许多困难,终于勉强地走到了弗利斯兰,乘坐一艘不大的商船驶往法国,船费是中等价钱.

　　小商船仅仅适合于沿岸航行.全体船员除了船长和他的副手之外,还有几个水手,他们的职责就是照看两根不高的桅杆上的船帆,擦洗已经破裂的甲板,船尾的一个不大的客舱分配给旅客.

　　一天夜里,笛卡尔躺在狭窄的,不通风的客舱里的木板床上,翻来覆去睡不着,心里很烦,就走上了甲板,凭靠在围绕甲板的栏杆绳子上,津津有味地陶醉于北海之夜的魅力之中.皎洁的月亮在黑黝黝的水中显出闪耀夺目的缕缕波纹,光波和着波浪的节拍有节奏地摇晃着,好像是用来呼唤招引着什么面目不清,神秘莫测,而又永恒无穷的东西.有时,涌起的波浪喧嚣地撞击在船舷上,无数个闪闪发光的下落的水珠向四处飞散,耽于幻想的航海者突然感觉到一种带有咸味的凉爽.有时候,在皓月神秘如梦的光照之下,海面被大海中不知名的栖息者用锋利而有力的鳍突然切断,又过了许久,才逐渐地恢复了他动摇不定的沉静.在远处,几乎是在地平线附近,有许多的光点忽隐忽现,那可能是航行的巨轮船舷的灯火,也可能是远处听不见的雷鸣电闪......

　　笛卡尔坐在斜垂在大帆船船舷上的阴影里,脑海里翻来覆去地慢慢地回忆着历历在目的战争生活,在可爱的小河边上不出名的拉哈耶所度过的早已过去了的童年生活情景,还有那向耶稣会教徒们学习的岁月.

　　需要一种自觉的努力来使得自己摆脱沉思默想的状态,好倾听舵轮那边传来的说话声.笛卡尔听出是船长的副手和一个有着黑胡须的,宽肩膀的水手的声音,还在他们上船的时候,这个水手脸上捉摸不定的表情就使他感到吃惊.当时,笛卡尔在他故作冷漠的背后,看出对于他自己,更多地是对他仆人小心地踏在踏板带到船上的一只沉甸甸的大箱子掩饰不住的贪婪的注视.

　　此刻,他俩正在用荷兰话交谈.

　　"你能肯定那个法国人不懂得荷兰话吗?"船长的副手闻到.

　　"是的.他们听不懂荷兰话,就像看不清眼下的黑夜一样,"水手回答到"还在码头上时,我故意大声招呼和那个士兵并肩站着的细高个古德坚,好让他留神比他的长剑还长的那人的长鼻子,可是,不管是那个法国人,还是他的仆人,都毫无反应.要是在我们中间这么说,哪个小伙子都得找茬打架."

　　"可是这个并不能说明任何问题"船长的副手提出了异议,"不过,"他停了一会儿,接着说"也许你是对的,那对我们就更好了."

　　谈话的人都沉默不语了.过了几分钟,船长的副手又说了起来.

　　"你打算什么时候干掉他们?"

　　"明天傍黑的时候"黑胡须答道,"得使他们来不及在他们的箱子上上锁.我已经事先告诉古德坚了,我们已经做好了一切准备."

　　"船长知道吗?"

　　"古德坚告诉他了.喂,得这么分.箱子归我,剩下的别人可以分."

　　又是一阵沉默,还是船长的副手打破了沉默.

　　"船长怎么说就怎么办.别把自己装进去,黑鬼.以前你想欺骗别人,已经给你安排过一次死刑了.你看着,有了第二次你就用不着第三次----你要亲手把你的小命送到地狱去."

　　笛卡尔听见黑胡须瓮声瓮气地用鼻子哼了一声,又接连从鼻孔中发出不满德喘气声.不能浪费时间.笛卡尔沿着甲板上最黑暗的有阴影的地方小心地挪动者脚步,好不容易才回到客舱的门口,连忙用门闩把门关好,设法一点多余的声响也不出地唤醒了仆人.他借助好心人别克曼的帮助很快学会的荷兰话对他多么有用啊!他的命运多好,恰好在海盗这么麻痹大意地具体商量他们卑鄙的罪恶的行动计划时,把他推到甲板上来了.对付这个计划的对策制定出来了.只有迅速和果断才能保证获得成功.

　　拂晓时,左舷那边显露出来的弯曲的海岸轮廓映入眼帘.晨风变换了方向,全体船员都被召唤到甲板上的船帆前面.

　　当船长出现在甲板上的时候,船已经绕过在海里突出得很远的沙洲,平稳地驶离了海岸.

　　突然,客舱的门全都敞开了,两个法国人急速地从里面跳了出来,笛卡尔敏捷地一击,把船长打倒在地,这时候他的仆人握着的火枪的枪口已经对准倒在地上的船长的后脑勺.笛卡尔一手举枪,一手持剑,迅如闪电一般地转向其余所有的匪徒,用荷兰话大声喊道:

　　"不许动,坏蛋们!谁动一动,我们打穿他的脑袋!"

　　被弄得措手不及的海盗们个个呆若木鸡.原来这个法国人会说荷兰话!哎呀,这是他用长鼻子开的玩笑.

　　接着是几分钟的战斗.笛卡尔跳到船长台上,命令绞帆,调转方向以左舷顺风而航行.船很快就轻轻地停靠在海滨的沙洲上了.笛卡尔命令自己的仆人把东西仍在地上,从船上跳下去,对船副严加看管.然后自己才跳了下来.他放下手中的剑,左手举起第二只手枪.在三只抢的瞄准下,海盗们只好重新又扬起帆,离开了海岸,一会儿就走远了.

　　两个勇敢无畏的人获得了自由.海盗们抡起拳头并发出了咒骂声而离去,海盗再也不能打扰他们了.法国出现在他们的面前.亲爱的土伦已经在迎接自己坐不安席的儿子和他的忠实的手持武器的仆人.

　　笛卡尔就是这样一位勇敢的学者,一位无畏的人.他本人在他的回忆录中讲述过他的海上旅行时和海盗发生的这场冲突.他能够利用他所拥有的利剑,多半还靠当兵练就的技艺强迫海盗们靠岸并使他和他的仆人有可能上岸.可能他偷听海盗们的谈话不是在深夜的黑暗中,他也不是通过威胁船长的生命使所有的船员服从自己,也可能所发生的一切正像我们刚才的描述那样.

　　在法国生活了若干年之后,他又去意大利旅行.笛卡尔参观了罗马,威尼斯,佛洛伦撒和洛列图.(他把最后的这个地方看作是履行他当年向洛列图圣母许下的誓言,当时,"预言的"梦向他揭示了新的,用他的话来说是万能科学的本质-----坐标法)巴黎的生活充满了世俗的欢乐和科学,文学学术讨论会.笛卡尔越来越有心想把自己对事物的见解以书面的形式陈述出来.他的很多朋友坚持劝告他这样做.但是,带有宗教偏见和世俗的专制体制的法国对于这一目标来说并不适宜.笛卡尔又想起了可爱的荷兰,连和海盗的小小冲突也抹煞不了他对荷兰的美好回忆.他写到,在这个国家里,"可以享受充分的自由;在那里可以毫无危险地安然入睡",而在其他任何地方都做不到这一点.

　　笛卡尔,这个出奇地片刻难安的人开始搬到了多德雷赫特一个老朋友别克曼那里.过了不久,他又移居到佛拉涅科尔,有时住在阿姆斯特丹,有时住在莱顿,戴文特,乌德勒支,格尔德尔维克等等地方.

　　在荷兰,笛卡尔写完了自己的<<几何>>,这一著作不长,但堪称为几何学著作的珍宝.

　　用笛卡尔的话来说,他是大厚本的拙劣著作的反对者.他说过,后人将不仅因为他所写的东西而对他表示感谢,而且还将因为他没有写的东西,从而使他们有可能有兴趣地,独自地,当然是利用他开始的那些构思去思考,而对他表示感谢.

来源:业余数学天地

(责任编辑：汪春)

仅仅拿那位特级教师的例子来看，其实说明工作的热忱。这和我们其他的工作一样，许多老师都把工作仅仅当做一份工作，做该自己做的，拿自己应该拿的那份，却没有思考，没有想怎么才能做得更好。现在我手底下招来的那些大学生也是一样，据我观察能够投入热情的人不到20%，很少人在下班后还会对自己的工作不足进行思考的。而思考的人里面又能想出东西来的又不足一半，所以好老师的概率大概也就10%罢了。

留爪。