五年级亲子数学：献给参加小学毕业考试的小五生

　　小五爸们、小五妈们正忙着为孩子的升学操心。升学似乎成了大家的唯一话题，有没有疏忽孩子的学习呢？

　　亲子数学社里，最活跃当属幼儿园和小学低年级的同学了，高年级的同学尤其是毕业班的同学悄无声息，太不正常了！

　　小五们，我们成立一个数学探究小组吧。说说自己的收获，自己的困惑。

　　现在我们小组有来自明强小学的007同学和11同学，来自宝山小学的小兔子乖乖同学和APPLE同学，欢迎更多的同学加入！

立体几何亲子探究专题

小五生开始学立体几何了……………………………………………………………………………2#

qyq327的解决方案……………………………………………………………………………………5#

我女儿拿着魔方做这道题……………………………………………………………………………6#

画图作业法：007的尝试……………………………………………………………………………………7#

我就是当中那块没有涂油漆的小立方体：小五生的独特视角…………………………………………8#

要知道梨子的味道，要自己尝一尝………………………………………………………………………9#

寻找实验材料………………………………………………………………………………………………10#

用纸带编织四面体的方法…………………………………………………………………………………11#

切豆腐………………………………………………………………………………………………………12#

代数几何综合题亲子探究专题

献给参加小学毕业考试的小五生…………………………………………………………………………29#

辅导方案一：代数方程解法………………………………………………………………………………30#

辅导方案二：算术解法……………………………………………………………………………………31#

辅导方案三：代数方程解法2……………………………………………………………………………32#

辅导方案四：算术解法2…………………………………………………………………………………33#

总结与反思…………………………………………………………………………………………………34#

11的探究报告………………………………………………………………………………………………35#

　　从小四起，孩子就独立学习了，独立作业了。不看孩子的作业，不再在孩子的作业本上签名，彻底放飞孩子，其结果是，007不大了解孩子在学什么，不知道孩子会遇到什么难题，也就没有了学习数学的动力和兴趣。没有想到，上个星期某天，孩子突然跟他的老爸说：“我们开始学立体几何了。”
　　“立体几何是什么呀？”007一脸惘然的样子。
　　儿子赶紧拿出他的作业来献宝。他知道容易的题目难不倒老爸，就单挑出他正在做的最后一道“拓展题”来考007：

　　小巧把一个正方体的表面涂上红油漆，接着把它切成27个小正方体。请问：
　　有（　）小正方体没有油漆
　　有（　）小正方体一面有油漆
　　有（　）小正方体两面有油漆
　　有（　）小正方体三面有油

　　“哦哟，这题还真有点难度。爸爸以前代数、平面几何都学得很轻松，就是觉得立体几何很烦。我们两个各做各的吧，看看答案是不是一样，想法是不是一样。”

搬个凳子来学习

回复 #3 隆隆爸 的帖子

想问问：你家小四生会怎么解决这个问题？

小巧把一个正方体的表面涂上红油漆，接着把它切成27个小正方体。请问：
　　有（1　）小正方体没有油漆（最中间的一个）
　　有（　6）小正方体一面有油漆（每个面中间的一个，因为有六个面，所以答案是6）
　　有（　12）小正方体两面有油漆（因为有12条棱）
　　有（8　）小正方体三面有油（8个顶点）

我女儿拿着魔方做这道题。
我跟她说要把魔方装进脑袋里。

qyq327 发表于 2011-3-31 20:52
小巧把一个正方体的表面涂上红油漆，接着把它切成27个小正方体。请问：
　　有（1　）小正方体没有油漆（最中间的一个）
　　有（　6）小正方体一面有油漆（每个面中间的一个，因为有六个面，所以答案是6）
　　有（　12）小正方体两面有油漆（因为有12条棱）
　　有（8　）小正方体三面有油（8个顶点）

　　007和儿子分头行动，各自研究。

　　007在草稿纸上画图，根据图片加上自己的空间想象，很快就找到了问题的答案。

　　（1）最中间的那1个小正方体没有油漆。

　　（2）每个面上都有1个一面有油漆的小正方体，总共有6个面，所以有1×6=6个这样的小正方体。

　　（3）每个角上都有1个三面有油漆的小正方体，总共有8个角，所以有1×8=8个这样的小正方体。

　　（4）剩下的便是两面有油漆的小正方体了：27-（1+6+8）=12个。

　　验证一下：前面一层有9个小正方体，其中，第一排和第三排中间的小正方体两面有红漆，第二排两头的小正方体两面有红漆，总共有4个小正方体两面有红漆；同理，后面一层也有4个小正方体是两面有红漆；中间那层，位四4个角的小正方体也各有两面红漆，计4个。总之，有12个小正方体两面涂了红漆，前面的计算推断是对的。

　　哎呀，007怎么这么笨？——没有想到：每条棱上都有1个两面有油漆的小正方体，总共有12条棱，所以有1×12=12个这样的小正方体。

　　儿子也画了一张草图，但他只画了一个大正方体，没有进一步切分，只是不时在上面标记一些数字。他研究这个问题的神情非常奇怪，不时翻翻白眼，看看天花板，或者低眉看看地面，嘴中念念有词。一番折腾过后，他也得到出和007一样的答案：1个小正方体没有油漆，6个小正方体一面有油漆，12小正方体两面有油漆，8个小正方体三面有油漆。
　　答案正确没有什么稀奇，但儿子说出他的解题思路，却让007大吃一惊。儿子花了老大的劲，才把自己的解题方法说了一个大概。原来——
　　（1）他也是首先发现最中间的那个小正方形是唯一一个没有涂到红漆的。
　　（2）接下来他的观察角度和推理方法就跟007截然不同。如果说007是站在大下正方体之外旁观和推断那27个小正方体各面有没有油漆的话，那么11则是把自己置身于最中间那个没有油漆的小立方体内进行观察和思考，他的正前方、正后方、正左方、正右方、正上方、正下方那6个小正方体，只有一面向外涂有红漆；
　　（3）他的左前方、右前方、左后方、右后方、左上方、右上方、左下方、右下方、前上方、前下方、后上方、后下方那12个小正方体，有两面向外涂有红漆；
　　（4）他的左前上方、右前上方、左前下方、右前下方、左后上方、右后上方、左后下方、右后下方那8个小正方体有三面向外。
　　007从来没有这样钻研过立体几何，难道这就是007立体几何学得艰难的原因之一。抑或，儿子这种极其变态、繁琐的方法，预示着他学习立体几何将比007还要艰难？

　　看了 007 和 11 的立体几何体验，脑子里突然冒出这一句话：“要知道梨子的味道，要自己尝一尝。”昨天，还跟人讨论，什么是小升初衔接。有人说，我没发现有什么内容是衔接的。如果看了教科书，仍然这样说，俺要怀疑了，是不是仅仅看了，而没有亲身去体验和发现？
　　开始看到这一部分，还觉得 007 的标题是不是有点博眼球，细看下去，像 11 这样一屁股坐在了正方体的中间，这当然是立体几何啦，007 的标题名符其实。这爷俩乐此不疲地折腾于其中，必是尝到了数学的个中三味。

嫣然妈妈 发表于 2011-4-1 08:29
我女儿拿着魔方做这道题。
我跟她说要把魔方装进脑袋里。

　　007弄清楚了儿子的解题思路之后，把自己的思路也告诉了他。儿子看了一眼007画的切分过的正方体示意图，恍然大悟——这就是一个魔方嘛！呵呵，后来他妈妈回来了，儿子便指导她借用魔方来解题。
　　可是，007觉得，在孩子才正式接触立体几何之际，不要急于在一个平面上画立体示意图，更不要急于借助顶点、棱、面这样的抽象概念来推导，而应该用立体的实物进行实验和观察，从中逐渐体会顶点、棱、面这些要素以及它们之间的相互关系，领会平面的纸上立体透视图所示意的空间关系。这样做，孩子的空间想象力的发展才有现实的经验基础。
　　11坐在房间里把整个房间看成是一个正方体，以此来观察27个小正方体的情况，实际上就是一个实验。但是，这个实验太复杂了，那26个方向会把人整晕，一不留神就会弄乱。如果能用实物做个实验该多好呀？
　　可是，什么东西适合用来做立体实验呢？
　　007家里有魔棒，搭出一个3×3×3的正方体太麻烦了。最好是容易切分的实体。
　　橡皮泥呢？容易变形，不好。
　　木块？切割不方便，不合适。
　　要不就切分老豆腐？
　　还有什么东西适合做实验？求大家帮忙，给007出出主意，好伐？

　　有一种制作多面体模型的方法，不用胶水，由一些纸带编织而成．在嵌入最后一段纸带后，模型就具有刚性的结构．   　　
　　下图展示了怎样用两条由4个三角形组成的纸带编织四面体.
  

   　　按虚线屈折后又展开一条纸带，使得形成屈折处——“凹地”．把色纸盖在白纸带上，用白纸带折叠成四面体，使得有色三角形出现在它内部，随后用色纸带包裹四面体的两个面，并且把留下的三角形嵌入两个白三角形之间的裂缝中．
   　　图中给出一种用三条划分成5个正方形的纸带编织正方体的方法．
   　　1.割出三条这样的纸带（白色、黑色、红色）．
   　　2.折叠白色纸带．
   　　3.用黑色纸带裹住它．
   　　4.得到正方体，其前面和后面是白色的，而其余面是黑色的．
   　　5．你从正方体背后让第三条（红色）纸带穿过白色和黑色纸带的缝隙，折弯并且最终两个面也穿过正前方的白色面和黑色纸带之间的缝隙．
   　　如果纸带是不同颜色的，那么所得的正方体有同样颜色的对面．在这种图上所展示的方法的特点是：任何两条纸带彼此都没有钩住，而整个三条却钩住了．还有另一种也是用纸带编制正方体的方法．在这种情况下每两条纸带是钩住的，而相邻的一对面将是同一种颜色．独立地试试找出这第二种编制正方体的方法．
   

摘自《直观几何》

　　今天早上开车送儿子上学。
　　路上，007开始出妖蛾子：老豆腐你见过吧？外边颜色深一些，里边颜色浅一些。现在我有一块正方体的老豆腐，我横着切三刀，竖着切三刀，拦腰切三刀，切出了许多小正方体。请问，这些小豆腐块中有几块三面颜色深，几块两面颜色深，几块一面颜色深，几块没有深颜色？
　　儿子脱口而出：这跟前几天我们做的那道题一样，最中间那块小豆腐没有深颜色……
　　007：慢着。我切三刀，会切出几份？
　　11：哎呀，切三刀可以切出四份，这个题目更难了。没有深颜色的小豆腐肯定不止一块了……
　　007：也许吧。你还是先想想我总共切出了多少块小豆腐吧，然后你可以和你的同学一起讨论，今天晚上回家我们来交流。

　　未完待续，敬请期待……

回复 #12 007 的帖子

各位爸爸同学、妈妈同学回家之后，不妨与儿子同学、女儿同学一起探讨这个问题。

回复 #12 007 的帖子

按11的思路，只要确定了当中没有颜色的正方体数量，其他就很好解决了。
切三刀，当中有8个正方体，原来自己是一个，现在这一个分身成8个了。
（1）原来他的正前方、正后方、正左方、正右方、正上方、正下方那6个小正方体，只有一面向外涂有红漆；他们每个都像自己一样分身成4个，那总数就是6*4=24个
（2）原来他的左前方、右前方、左后方、右后方、左上方、右上方、左下方、右下方、前上方、前下方、后上方、后下方那12个小正方体，有两面向外涂有红漆；他们每个分身成了2个，那总数就是12*2=24个
（3）原来他的左前上方、右前上方、左前下方、右前下方、左后上方、右后上方、左后下方、右后下方那8个小正方体有三面向外；这8个小正方体没有分身，总数还是8个。

这里面有两个难点，第一个是确定当中多少个没有涂色，这是最关键的地方。
还有一个难点是要确定棱处的变身，是变2个呢，还是变几个。
这两个地方我们画下图很容易就知道了。不知道11怎么处理的？
期待小朋友头脑体操做下来的结果...

回复 #14 daisy 的帖子

哈哈，我只要画个平面图就知道答案了。
再找下规律（切几刀与当中变身几个的规律），确定好变中不变的因素，就可以确定函数关系。这样随便你切多少刀，都可以知道答案了。

谢谢分享，学习来了

　　今天ccpaging带着Alex和一根大萝卜来007家串门来了，那就不切豆腐，改成切萝卜。
　　J同学闻讯来赶来，一块切萝卜。
　　我们从最简单的情况开始。
　　007切出一块近似正方体的萝卜丁，ccpaging让大家说说这个萝卜丁有什么特点。
　　三个小伙子你一言我一语，把这个1×1×1的正方体的特征说了一个大概：它有8个顶点、12条棱、6个面。
　　那么，如果我给这个正方体外面全涂上红油漆……横着切一刀，切成几块？
　　2块。
　　我再竖着切一刀，切成了几块？
　　4块。
　　凭什么说有4块？
　　你切的就在这里，数一下，不就是4块么。
　　你们不数，能算出来或者用一数式表示么？
　　2×2=4.
　　好的。现在我再拦腰切一刀，切出了几个小萝卜丁？
　　2×2×2=8块。
　　嗯，这是算出来的，看看实际上是不是切出了块。
　　大家一数，果真是8块。
　　那么，这里边有几块三面有颜色，几块两面有颜色，几块一面有颜色？
　　哈哈，这8块全都是三面有颜色，根本就没有两面有颜色和一面有颜色的萝卜丁。

　　未完，待续……

　　007再切出一块近似正方体的萝卜块，然后对着它横着切了两刀，问：切成了几块？
　　3块。
　　我再竖着切两刀，切成了几块？
　　3×3=9块。
　　我再拦腰切两刀，切出了几个小萝卜丁？
　　3×3×3=27块。
　　假定我在大块的外边全涂上的红油漆，那么，切出的这27块小丁里边有几块三面有颜色，几块两面有颜色，几块一面有颜色？请把它们找出来。
　　小伙子们很快找出了8块三面有红颜的萝卜丁。ccpaging问他们：这8个小方块有什么共同特点？
　　都在角上。都在顶点上。有8个顶点，每个顶点都一个三面有颜色的小萝卜丁，所以有8个。
　　怎么记录？
　　1×8=8。
　　好，接着找两有颜色的萝卜丁。
　　他们一共找到12块。
　　ccpaging又问他们：这12个小方块有什么共同特点？
　　都是靠边不靠顶点的，一边条边上有一个。
　　对，更准确的说法是，一条棱上有一个两面有颜色的小正方体。总共有几条棱？
　　12条，所以有1×12=12个两面有颜色的小正方体。
　　很好，那一面有颜色的小正方体有几个？
　　每一面中间都有一个，一共6个。
　　怎么记录？
　　1×6=6.
　　有颜色的都拿走了，剩下就是没有颜色的了。
　　剩下就是最中间那个，它没有颜色。
　　加起来，看看是不是27块？
　　……

　　未完，待续……

回复 #13 007 的帖子

小女大班，昨天回家对着魔方做出来了。感觉对着实物比较容易的

土豆：上午好。 下面这道题，哪位童鞋做出来了？

玫瑰：很多孩子都做出来了，3.14M
土豆：道理呢？
玫瑰：估计就是凭感觉吧？还有不少同学的结果是根号8。
土豆：学语文讲感觉的，学数学讲感觉，算什么名堂？ 就算是考场上凭感觉做对了，下来以后，要不要验证？要不要质疑？ 没有验证，没有质疑，数学就失去了灵魂。
玫瑰：是啊。 那么，这道题应该怎么去研究呢？做实验？
土豆：
           做实验，猜测规律，由体验而抽象到理论，这些是应有的学习过程 ，在这个过程中，几何基础可以逐步建立起来。但是，这个过程太长、太慢，所以，有人采用更为简单直接的办法，告诉他们，直角三角形的这条中线的长度等于弦的一半。可是，一旦告诉他们了，将来又怎么去学习几何呢？
玫瑰：四年级的孩子去学几何的话是不是太早了？
土豆：学几何，我觉得是可以的，当然，要看孩子的情况，有没有兴趣等。
           但是，要在小学期间，学完几何，还要学好，我觉得，这样的孩子凤毛麟角 。
           学习几何，还涉及另一个问题，学习几何的目的是什么？
           对这个问题，我觉得，好多家长，甚至老师，很可能回答不了。
玫瑰：是啊。
土豆：讨论学习几何的目的，首先要知道几何在数学发展史中的作用。
玫瑰：听说有些几何学习班里，有四年级的孩子去学。
土豆：学习几何，一种是掌握几何的技能，一种是体会其中的思想。大部分人都是前者
玫瑰：对啊，研究加辅助线什么的，难啊！
土豆：但是，几何的技能在现代社会中，对于大多数人而言，几乎毫无用处。我们都学过几何，可是有谁在生活中用过这个加辅助线的技能吗？
玫瑰：没用过，好像就是做题考试才用得上。有人提出不应该学几何。
土豆：我觉得，几何应该学。学什么才是问题的关键。
玫瑰：哦，学什么啊？
土豆：
           牛顿在三一学院时，有个教授考察他的学习以后，就给他建议，让他重新学习几何。几何对牛顿后面研究万有引力产生过很大的影响。爱因斯坦也曾经独立地学习和证明了一些几何难题。由此可见，几何对数学的学习是非常重要的。那么，下一个问题是几何有什么魔力，为什么那么重要？
           在数学的历史上，几何本是跟算术具有同等的地，都是一种解决数学问题的术或曰技能。但是，柏拉图等希腊哲人认为，在数学中，当时主要是几何，蕴含着有关天地万物的道理，他们把数学视为一种哲学。而算术，在我们国家，一直被视为一种工具。数学家丘成桐感叹到：“中国儒家将它放在六艺之末，是一个辅助性的学问。当政者更视之为雕虫小技，与文学比较，连歌颂朝廷的能力都没有。”
           为什么同等的数学研究，几何和算术，在东西方的地位有如此大的差异呢？我觉得，这不是几何或者算术本身的问题，而是西方数学家关注几何的思想，而中国数学家只关注算术的术。一个视之为思想，一个视之为技能，研究和运用的效果自然有云泥之别。
           反观我们的现在的几何学习，如果仍视之为技能，必然费时费力，所得甚少。
玫瑰：太高深莫测了，要慢慢理解了。
土豆：那是我想的还不够透彻吧。权当是抛砖引玉，以后想到碰到几何的问题，再慢慢探讨吧。

玫瑰：还说回题目吧，那个中点走了个什么轨迹啊? 1/4个圆？

土豆：好像是的。

玫瑰：那个梯子两头都动了啊？又不是一个点固定的。中点也走的是圆吗?

土豆：可以看看这个中点跟墙角那个点的距，也就是中线的长，严格地说，弦长不变的任意直角三角形的中线长度。

玫瑰：能画一下给我看看不?

土豆：

玫瑰：跟那题有什么关系啊?
土豆：中线的长度等于直角三角形的弦的一半，怎么证明的？俺忘了。好像是证明两个三角形都是等腰吧。
BD=DC，似可证明BD=AD=DC，这样的话，由于弦长不变，那么AD也不变。梯子的中点永远和左下那个点的距离不变，所以走的是1/4圆的轨迹。
玫瑰：有点明白了。
土豆：这些题目，童鞋就算做出来也不一定知道这个道理，很多几何题目孩子不是做出来的，是看出来的，根本就没懂。要是看出来了，没懂，那么就花时间搞懂，这样也行。
玫瑰：没那么多时间啊。
土豆：除非是陶喆轩，在幼儿园把小学数学学完，在小学学初中数学。
玫瑰：到了社会再学幼儿园应该学的做人的道理？
土豆：晕，这话我想说的。
玫瑰：陶喆轩弟弟是自闭症哦。
土豆：一直不知道他妈妈怎么教的，总觉得风险较大。
玫瑰：要我说，造天才废品率就比较高。
土豆：同感。我们只有一个，伤不起啊。

007和CC老师，问道题，想知道解题思路。
长方体长12厘米，宽10CM，高6CM，沿水平切成两片，再将每片切成3条，再将每条切成4条，得到24个大小不一的长方体，这24个长方体的表面积总和是多少？

回复 #21 小兔子乖乖 的帖子

没看懂：所谓“再将每片切成3条”，是怎么切的？所谓“再将每条切成4条”，又是怎么切的？

小兔子乖乖 发表于 2011-4-20 16:31
007和CC老师，问道题，想知道解题思路。
长方体长12厘米，宽10CM，高6CM，沿水平切成两片，再将每片切成3条，再将每条切成4条，得到24个大小不一的长方体，这24个长方体的表面积总和是多少？

在思想中，虚拟地试着切了下馒头，发现，这个对刀工有要求的吧？是不是一定要做到横平竖直？

ccpaging 发表于 2011-4-20 17:30
在思想中，虚拟地试着切了下馒头，发现，这个对刀工有要求的吧？是不是一定要做到横平竖直？

　　要是不管切法，答案就不止一种。

　　首先，水平切一刀，分成了上下两片，这两片各自有上面和下面，这4个面的面积是12×10×4.

　　接着，每一片切成3条。有两种切法：一种是横着（左右方向）切，另一种是竖着（前后方向）切。第一种切法，无论怎么切，都会切出6条，这6条各有前面和后面，所有的前面和后面加起来的面积是12×6×6；第二种切法，无论怎么切，都会切出6条，这6条各有左面和右面，所有左面和右面加出来的面积是10×6×6。

　　最后，每条切成4块。有两种切法：如果前面是横着（左右方向）切，现在就竖着（前后方向）切；如果前面是竖着（前后方向）切，现在就横着（左右方向）切。竖着切，无论怎么切，都会切出24块，这24块各有左面和右面，所有的左面和右面加起来的面积是10×6×8。横着切，无论怎么切，都会切出24块，这24块各有前面和后面，所有的前面和后面加起来的面积是12×6×8。

　　因此，不同的切法有不同的答案。
　　第一种：12×10×4＋12×6×6＋10×6×8=480＋432＋480=1392（平方厘米）
　　第二种：12×10×4＋10×6×6＋12×6×8=480＋360＋576=1416（平方厘米）

　　当然，还有其它变态的切法，如：
　　第三种：水平切成两片之后，每片横切成３条，每条再横切成4条。
　　第四种：水平切成两片之后，每片竖切成３条，每条再竖切成4条。
　　第五种：水平切成两片之后，每片横切成３条，每条再横竖各一刀，切成4条。
　　第六种：水平切成两片之后，每片竖切成３条，每条再横竖各一刀，切成4条。
　　第七种：水平切成两片之后，每片横切成３条，每条再横平各一刀，切成4条。
　　第八种：水平切成两片之后，每片横切成３条，每条再竖平各一刀，切成4条。

　　请问，不同的切法，切出的２４块小长方体总的表面积会一样么？我的考虑多余么？

就算做到横平竖直，下刀也是有讲究的。应该说，有三个方向下刀，左右水平、上下竖切、上下横切。因为长宽高均不相同，三个不同方向，切除来的表面也大小不一。加之在三个方向上切的刀数不同。于是，这就有了不同的切法：
1、卖油炸馒头的老板，要省油，就故意在截面最大的方向切1刀，增加1x2个截面；在最小的那个方向切3刀，增加3x2个截面。
2、喜欢占便宜的顾客，想多粘点油，油炸馒头香啊，就故意在截面最大的方向切3刀，增加3x2个截面；在最小的那个方向切1刀，增加1x2个截面。

对个号，看看007是卖馒头的还是买馒头的呢？

谢谢，题目是这种12×10×4＋10×6×6＋12×6×8=480＋360＋576=1416（平方厘米）

主要是我不会画立体图，有图的话表达起来就会好点。

小兔子乖乖 发表于 2011-4-20 19:25
主要是我不会画立体图，有图的话表达起来就会好点。

http://www.linglong3d.net/

　　11，很高兴你自觉地对一个学期以来平时作业、测验、期中考试、期末复习模拟考试中所有的错误进行了统计分析。你说，你发现自己在数学中主要有三大类问题：一是因为各种原因的粗心导致的计算错误；二是因为急躁或自以为是导致的审题错误；三是图形题没有把握，有的时候想一两个小时也想不出解决办法。前两类问题要靠你自己去解决，谁也帮不了你。最后一个困难，可能跟你接触得少或者说还没有开窍有关。明天就要毕业考试了，多接触已经不可能，那就想办法让开开窍吧。正好我在网上看到一道题。你不妨来试一试。重要的不是自己能不能解题，而是从这道题的研究上找到解决问题的一般思路。
　　题目如下：

　　已知：大正方形ABCD的边长为12cm，三角形ADH的面积S1比三角形CGH的面积S2大48cm2， 求小正方形CGFE的边长。

　　这种题目是小学最难的数学题了，它既涉及到几何知识，又涉及到算术和代数方程知识，可以考查你的综合应用数学知识的能力。

　　你可能会觉得它难，但只要动脑筋，就可能找到解决办法，最后你发现它并不难。我今天晚上要参加一个重要聚会，不能跟你一起讨论了。我把我想到的方法都写在后面。我建议你先自己动脑找到解法，最后再对照我的解法，特别是要看我的分析。
　　这道题既可以用代数方程方法解决，也可以用算术方法解决，而且各有多种解法。无论哪一种方法，都要充分利用S1－S2＝48这个已知条件。我建议你先想代数方程的解法，再根据代数方程的解法找到算术的解法。代数方程的解法，关键在于找到恰当的等量关系。这道题从哪里可以找到等量关系呢？

　　你可以设小正方形CGFE的边长为x cm，根据题意和图示可知，梯形ABCH有两种求法，由此可以找到一种等量关系：

　　大正方形ABCD的面积－S1 ＝ 大三角形ABG的面积－S2

　　12×12－S1 ＝ (12＋x)×12÷2－S2

　　12×12－(S1－S2) ＝ (12＋x)×12÷2

　　[12×12－(S1－÷12×2 ＝ 12＋x

　　x ＝ [12×12－(S1－÷12×2—12

　　　＝ (144－48)÷6—12

　　　＝ 96÷6—12

　　　＝16—12

　　　＝ 4

　　你可能还是想试试算术的解法吧？你看——

　　小正方形CGFE的边长CG ＝ BG－12
　　大三角形ABG的底BG ＝ 大三角形ABG的面积÷12×2
　　大三角形ABG的面积 ＝ 梯形ABCH的面积＋S2
　　梯形ABCH的面积 ＝ 大正方形ABCD的面积—S1

　　根据以上分析，可以得到小正方形CGEF的边长CG的解法：

　　 ［（12×12－S1)＋S2]÷12×2—12
　　　＝ [12×12－(S1－S2)]÷12×2—12
　　  ＝ (144－48)÷6—12
　　  ＝ 96÷6—12
　　  ＝ 16—12
　　  ＝ 4

　　请比较一下算术解法与代数方程解法。你一定会发现，它们是相通的。
　　算术方法看起来需要写的东西比较少，但要想出这种方法需要花很多时间，还不一定想得出来。代数方程的解法，多写一些步骤，多写一些字，但可以保证你正确解题。这是一种有保证的方法，是真正聪明的方法！

    还有一种解法。请你把点A和C连起来，作辅助组AC……

　　设小正方形的边长为ｘ，三角形ACH的面积为S3
　　已知S1－48 ＝ S2
　　所以，S1＋S3－48 ＝ S2＋S3
　　也就是，三角形ACD的面积－48 ＝ 三角形ACG的面积
　　12×12÷2—48 ＝ x×12÷2
　  x ＝ (12×12÷2—48)÷12×2
　    ＝ (72—48)÷6
　    ＝ 24÷6
　    ＝ 4

　　哈哈，可能你从第三种解法想到了另一种算术解法——

　　小正方形CGFE的边长CG就是三角形ACG的底，这个三角形的高AB＝12cm
　　根据三角形面积公式，可得CG ＝　三角形ACG的面积÷12×2
　　根据图示，三角形ACG的面积 ＝ S2＋S3
已知S2 ＝ S1－48
　　根据图示，三角形ACD的面积 ＝12×12÷2
   
　　根据以上分析，可以得到了求CG的算术解法了！

　　(S2＋S3) ÷12×2
　　＝ [(S1－48)＋S3]÷12×2
　　＝ [(S1＋S3)－48]÷12×2
　　＝ (三角形ACD的面积－48)÷12×2
　　＝ (12×12÷2－48)÷12×2
　　＝ (72－48)÷6
　  ＝ 24÷6
　  ＝ 4

　　仔细看一看，这种算法跟前面的第三种代数方程解法是不是一回事？

　　说不定还有第五种、第六种解法。在想其它解法之前，你对前面的解法进行一次回顾和总结。想一想：解题的关键是什么？解题的关键是不是要找到恰当的等量关系，以及充分利用S1－S2＝48这个特别的已知条件？
　　有一点特别需要加以回顾：开始研究这道题时，你肯定特别想知道S1和S2面积究竟是多少，没有具体的数据就会让会觉得很难解题。但是，现在你应该清楚了，就算不知道S1和S2面积各是多少，只要知道S1－S2＝48，照样可以解题。不一定要知道每个部分的数据，有的时候知道各部分的关系（如两者之和、之差、之积、之商），就可以解决问题。
　　还有一点需要加以回顾：即使你使用算术方法，你也不大可能根据已知条件立即列出算式，而是需要利用一些代号，逐渐推理，最后列出算式。利用代号代表具体的数据，进行思考、推理、运算，这就是代数的基本精神了。到初中，你会大量使用这种数学思维方式。千万不要瞧不起它，别以为算术方法比代数方法更聪明。
　　你可能还有其它心得和想法，等我回来之后，我们再交流，好吗？
　　11，加油！儿子，加油！

　　据11报告，他首先想到的是作辅助线的方案。
　　他假设小正方形的边长为x，他寻找等量关系的思路与007有所不同。他发现三角形ACG的面积有两种求法，一种是底乘高除以2，一种是把S2和S3加起来，而S3又可以根据三角形ACD的面积与S1之差求得。
　　以上分析，得方程：12×x÷2＝S2+(12×12÷2—S1)
　　整理方程得：6x＝72—(S1—S2)
　　已知：S1—S2＝48
　　所以方程是：6x＝72—48
　　解方程得：x＝4

　　呵呵，他的思路更佳。

缘起
11最近参加了分班考试，考完以后有些头疼，问其原因，原来考试中出现了很多全新的数学概念，例如素数。“这是个什么东西啊？我都不知道，怎么做题啊？”我猜，11考试中一定困惑了。
其实，这些数学概念也没什么稀奇，出现在考试中，只不过是学过和没学过的区别。没学过的，当然不知道。但我们可以学啊，学过，不就知道了吗？学得怎么样，掌握的好不好，先学一步，说明不了问题，最后，还是要看各人的聪明才智。

秦始皇的故事
ccpaging：先讲个故事吧？
J同学：别讲数学故事哦。
ccpaging：好好，俺是学数学的、、、就讲一个关于秦始皇的故事吧！你们认识秦始皇吗？
11和J同学：不认识。

其实，11和J同学们都是知道的，只不过他们想展示下自己的油墨。只是在俺看来，还比较稚嫩而已。彼此认可，熟悉到一定的程度，才会这么玩。

ccpaging：哦。话说秦始皇统一了中国，他老想着千秋万代，把这个基业一直传下去。
11同学：cc老爸又在讲故事了，肯定不是真的。
ccpaging：嗯，这个故事不是真的。

007简单介绍了秦始皇，秦二世，以及秦朝的灭亡。
ccpaging：秦始皇统一中国非常不容易，所以他老想着这事，希望把这个统一千秋万代地传下去。不仅这么想，他还专门为他的子孙后代排了序。秦始皇自然是第一世，又称秦一世。他的儿子是秦二世，他的孙子就是秦三世。那么，后面应该是秦几世呢？
J同学：自然是秦四世。
ccpaging：秦始皇不这么想。因为他觉得这个4不吉利，能分成2x2，这样就分裂了。
J同学：可是，2也可以分裂成1x2。
ccpaging：那不一样，1x2的意识是1个2，所以还是统一的。
J同学：可是，2也可以是1+1啊。
ccpaging：加法没关系的，毕竟还是合起来了，也还是统一的。
11同学对J同学说：算了。cc老爸在讲歪理呢，我早知道，他总要绕到数学上去的。
J同学：那下一代就算是秦五世吧。
11同学：再下一代是秦七世。
Alex：哦，6可以分成2x3，不能用。
J同学：再下一代是秦八世，哦，不对，应该是秦九世。
11同学：9可以分成 3x3的。

于是，三个同学七嘴八舌，搅成了一团。
007：看来心算不过来了。我们把纸和笔准备好，把符合要求的数一个个写下来吧？
ccpaging：也别写太多，就写 1－100 之间的数吧。

备用而未用的故事：整数王国
    小数点不小心掉进了整数王国。在整数王国里边，0是国王，1是王后。
    为什么0是国王呢？因为国王的威力最大，任何其它的数与0国王碰到一起立刻就消失了，没人能够打败国王。国王的威力还不止这些哦。任何的数只要站在国王的左边，这个数立刻就长大十倍，变得力大无穷。你说0国王厉害吧！
    有国王当然就有王后，谁是王后呢？1是王后。因为1可以加出任何一个正整数，没有了1，王国里边有再多的0也白搭。   
    整数王国不仅有国王和王后，还有将军和士兵哦。例如，4就是2的士兵，因为4能被 2整除，4 被2管，是2的士兵。   
那么，2是将军还是士兵呢？有人说它是士兵，有人说它是将军，你说呢？   
    王国里边还有哪些将军呢？哪个将军统领的士兵多呢？   

备注：
    这个故事在小三小四阶段曾经用过多次，可以扩展出很多数学问题，但用得多了，怕同学们烦。所以，这次未用。
  
找出1-100之间的质数
看到大家有跃跃欲试，准备把1－100之间的质数写下来。007和我赶紧把桌子凳子布置好。11同学、J同学、Alex忙不迭地写开了。期间，发生了偷看与反偷看、彼此商量、写不下又受到其它人的鼓舞继续写下去等，诸如此类的事情。我也仔细偷看了同学们的答案，都有些错误，普遍地，大家对3的倍数不太敏感。

素数的定义兼论奥卡姆剃刀
终于，大家都写完了。休息了一番，返回来继续讨论。
ccpaging：现在，我们先不去管答案对不对，谁能告诉我，什么是质数？也就是说，我们能不能用语言把质数说清楚。
11同学先说了自己的定义，其后，J同学做了修正。
ccpaging：能不能简练一点，例如，质数就是无法被其它整数整除的数。
007补充到：1和这个数本身除外。
11和J同学笑了：这跟我们说的是一回事，怎么你们说的这么古怪呢？
ccpaging：在数学里边，质数的标准定义是：质数又称素数，指在一个大于1的自然数中，除了1和此整数自身外，没法被其他自然数整除的数。老实说，我也觉得很古怪。
11同学：那为什么要这么古怪呢？
ccpaging：我也不知道。但是，我听说过一个叫奥卡姆剃刀的故事。
11同学：这跟刀有什么关系？
ccpaging：当数学刚刚开始萌芽的时候，有很多说法，数学、哲学、宗教甚至巫术，很多东西都混杂在一起。人们互相喜欢争论、辩论。为了证明自己是对的，经常东拉西扯，把对自己有利的说法都牵扯过来，但最后经常是越辨问题越多，到最后各种问题混为一谈，毫无结果。在14世纪，有个叫 Occam 的人对这种辩论十分反感，为了解决这个问题，他提出了一个理论，即当我们讨论问题的时候，要时刻用一把锋利的剃刀，那纷繁复杂的问题分割成简单的若干小问题，对每一个小问题，则要无情地剔除多余的部分。他认为，要这样做我们才不会混乱。后人形象地把这个理论称之为奥卡姆剃刀原理。
11同学：那跟质数有什么关系呢？
ccpaging：当然有关系啦。用最精简的语言讲清楚什么是质数，我们就可以避免很多无谓的争论。
J同学：可是那样的话，讲出来的话一定古怪的。
ccpaging：我们可以称之为数学的语言，跟我们平时讲话区别比较大。但搞数学的人追求极致简单的真理，他们视简单为美。等你们进了初中，就会更多地接触到这些数学语言。

2的倍数

3的倍数

（未完待续）