课外数学探究方法和实例

　　说起数学学习，首先跳入我们脑海的就是教室。一个老学究式带厚如啤酒瓶底眼镜的老师，或在黑板上奋笔疾书，或口若悬河滔滔不绝，同学们则在下面记笔记，做习题、、、然后，老师负手在讲台上踱步，同学们埋头考试、、、末了，老师一边批阅考卷，一边为成绩不错而颔首点头，对自己的教学水平作出暗自的肯定。
　　这样的学习方式能用于课堂外的数学探究吗？

玫瑰：我们是小四生。昨天我趁女儿和一个小朋友在玩的时候说了那个只会一和很多怎么比多少的故事。
土豆：嗯，哪个故事？
玫瑰：
最早的数其实只有两个，1和很多。
男人打猎回来了，女人问，今天打到多少羊啊？
男人两手一摊，木有。或者答曰有，表示打到一只。多于一只，那就回答－－“很多”。

空闲的时候，大家就聚在一起聊天，而且他们都喜欢夸耀自己的财富。
一个人说，我家里养了很多羊，另一个人说，我家里也养了很多羊。到底谁家的羊多呢？
说不清楚，因为他们只有两个数，1和很多。

土豆：这个故事啊。
玫瑰：我请她们帮忙，想出什么办法来，帮原始社会的人比比看，谁家的羊多 ？
土豆：哦
玫瑰：可是，我讲完后，她们面面相觑。一个问我，有答案吗？我说，就是请你们帮忙出主意的，越多办法越好。
土豆：然后呢？
玫瑰：她们还是你看看我，我看看你，没有回答。
土豆：大概对这种形式太陌生了，从没碰到过没有标准答案的问题？
玫瑰：又静了一会，一个说：给个提示吧。我看看，可能我什么都不说，她们也不会说的。
土豆：有点麻烦。
玫瑰：我只好把题目给演示一遍，我说：你们看，每人一堆，你如果让他们数，他们只会一个接一个拿出来，然后说：1、很多、很多、、、
土豆：对了。她们可能没有进入问题的情境、、、
玫瑰：情境？
土豆：是的。数学问题都来自于生活，生活就必然有一个情境。
玫瑰：不明白。
土豆：像今天讨论的这个问题，同学们没有把自己想象成原始人。既不能体会到原始人的处境，也没有解决问题的动机和愿望、、、
玫瑰：这么说的话，她们确实没有进入情境，都觉得是做一道数学题，很严肃的样子。也不明白，只有两个数，1和很多，到底是什么意思。
土豆：她们习惯性地在期待老师讲呢？
玫瑰：而且，我看得出来，她们都像是很怕说错，不敢先说话 。
土豆：插个问题，你们是在哪里搞数学活动的？
玫瑰：哦，在回家的路上，等车的时候。我，女儿，女儿的同学和她妈妈，一共四个人。
土豆：不应该觉得紧张啊？！
玫瑰：看她们，就像在做考卷一样。
土豆：嗯。那继续讲吧！
玫瑰：我演示给她们看的时候，觉得好像是在提示？
土豆：我觉得不是，你只是做了一个数数的行为而已。
玫瑰：不算提示？
土豆：你只是在演示一个真实的原始人的生活细节。不算提示。
玫瑰：这时，女儿说，我知道了。另一个也模仿我的动作在数、、、
土豆：已经把她们带入问题的情境了，严格地说，是原始人那个情境。
玫瑰：女儿很快就说出了正确的方法。
土豆：什么方法？
玫瑰：就是一个个地比较。你牵出一头羊，我也牵出一头羊；你再牵出一头羊，我也再牵出一头羊、、、一直到你家的羊被牵完了，我家还有。我家的羊比你家多。
土豆：对。
玫瑰：这时，另一个同学的脸就马上灰了，觉得就像在课堂上，别人已经把正确答案说出来了，她没机会了。
土豆：竞争心好强啊。
玫瑰：我立刻安慰她说，什么方法都行的。
土豆：说的好。不过，我也想不出别的方法了。
玫瑰：然后，她们就开始胡诌了、、、
土豆：哦，说什么啦？
玫瑰：那个同学说，可以目测，还可以测重量，提到了曹冲，然后说可以把羊赶到船上了，另一个妈妈也加入了讨论，说是可以在船上刻线、、、
土豆：我没想到，把物理和数学的方法结合起来了。我觉得，这个方法不错。数学比我们一般人的想象要广阔的多。
玫瑰：可是，如果是只懂一和很多的原始人，不可能跟曹冲那个时代一样啊？
土豆：哦，穿越历史了！
玫瑰：是啊，我觉得这位同学的答案不对。是不是应该当场指出来啊？
土豆：你指出来了吗？
玫瑰：我看她们说得特别开心，只是这样想，没有指出来。
土豆：
其实，很可能，她内心是知道的。
要她想出另一种数学方法，我觉得是一种奢望。我学到大学，也就只会这一种方法。
别人要面子啊，好容易想出这么个办法。咱要成全。
说不定所有的人都知道呢，都不去点破。

玫瑰：我不知道接下去，还要怎么引导她们了？
土豆：你做得非常棒，她们已经把你要说的都说了，不要引导，这不是更好吗？
玫瑰：很热烈的讨论完怎么刻船以后，车来了，讨论就停止了。
土豆：结束啦？
玫瑰：两个孩子明显很开心。那位妈妈也很高兴。
土豆：很好。
玫瑰：象说到刻船，我还是觉得离题了，没往数学方面说。
土豆：我觉得没有离题 ，只是在她们的认知中，抽象的数代表了具体的物体，而这个物体是有重量的。
玫瑰：这个我倒没想到哦。
土豆：你没有打断那位同学的说话，这就很好了。
玫瑰：当时，只是因为她们情绪很好，才由着她们说的。
土豆：
我觉得，问题能讨论到什么层次，不取决于你能教或者引导到什么层次，而是她们能感悟到什么层次。
她们在一个能开口，敢开口的环境里边，非常兴奋，非常有兴趣，那么，她们的感悟就能得到充分的发挥，能实现自己最大的进步。
当然，四年级同学，又是第一次，这种进步在成人看来可能微不足道了。

玫瑰：这话有启发，很有道理。我们平时都觉得，她们的成绩取决于我们教了多少、、、
土豆：问题是江郎也有才尽时。等你不能灌的时候，她就完蛋了。或者灌不进去的时候，她也完蛋了。
玫瑰：关键是，她们要能提问，能讨论，愿意去搞清楚来龙去脉。
土豆：是的，激活她们的思想。
玫瑰：那昨天她们都没提问，我要不要插话呢？ 如果大人不说话不引导，那会不会最后讨论没有结果呢？
土豆：如果没有冷场，又没有偏题，能不引导就不引导，能不说就不说。
玫瑰：那，如果遇到冷场或者偏题了怎么办呢？
土豆：事先多准备问题。或者，临场的时候，把你想说的引导的话，变成一个问题。
玫瑰：举个例子。
土豆：
像今天的问题，你用过程来引导的。我试试用问题来引导。
例如，还是这群原始人，有两根绳子。他们不会丈量，没有厘米、米这些单位，怎么比较绳子的长短呢？
玫瑰：好方法。
土豆：嘿嘿。这种探究的方法也有缺点，那就是起步慢。
玫瑰：
好处也有啊。
平时，难得看到她们乐意去想，都很被动，平时都说不喜欢数学，讨厌数学呢。
昨天看到女儿很有成就感，而另一个同学，还意犹未尽地问，还有没有别的题目。
我觉得，不管讨论得对不对，这也算一个收获吧！

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支持一下，我们的已经大了，当年如果能这样启发不知道会怎么样

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我也来意犹未尽地问下：“还有没有别的题目啊？”

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我觉得应该在启蒙阶段说这个比较好，现在已经有数的概念了再来讲，小朋友可能会有困扰

玫瑰跟小四生们讨论了“一和很多”的问题，大家都觉得意犹未尽。玫瑰跃跃欲试，正在为下次的数学探究作准备。

玫瑰：想想我们一周最多只能进行一次这样的讨论，最多哦。
土豆：是啊，时间有限。
玫瑰：如果国外上课都用这种形式的话，那他们的思维确实比我们活跃很多。想得也比我们更广更深。
土豆：想干吗？把这套探究的方法全部引到课堂上？
玫瑰：不会觉得很贪心吧？
土豆：以现在的考核制度，这种想法是不可能实现的。因为这种方法有个缺点，那就是起步慢。
玫瑰：不容易出成绩啊，与国情不符。好像效率不高。
土豆：只是早期效率不高而已，思路被打开了，那就不得了。
玫瑰：不过，对一个孩子来说，五年里边始终得不到肯定，很可能受不了打击就放弃了、、、
土豆：这个，对孩子的要求太高了。
玫瑰：如果有心的父母，又认可这套方法，可以用来作为课堂学习的补充吗？
土豆：我觉得，最好不过了。家庭教育可以用来作为平衡的。学校里边想得少了，家庭里边就多给孩子想的机会。
玫瑰：平时，难得看到她们乐意去想。
土豆：每周有一个小时的话，每年有40－50个小时可以自由思考。
玫瑰：那下周研究什么问题呢？
土豆：还是这个问题，但我们可以延展。小二生不合适延展，所以不建议研究这个题。
玫瑰：不是已经解决了吗？
土豆：可以延展到无穷大。
玫瑰：说说看，无穷大，头疼的。
土豆：那我们先试试看。问题是这样，请问整数多还是偶数多？
玫瑰：都是正数吧。
土豆：当然，小四生还没学负数呢。
玫瑰：没完没了的数啊？
土豆：都是无穷多个，数不了，对哇？
玫瑰：我猜，小四生会说，整数多。
土豆：这只是猜测、、、
玫瑰：理由嘛，因为整数包括奇数和偶数。
土豆：哦。如果是有限的，例如100以下，整数多还是偶数多，我觉得答案很简单，整数多。
玫瑰：无穷大啊
土豆：这我就吃不准了。
玫瑰：很可能小四生对无穷多不是很有概念。
土豆：试试看，说不定她们知道呢。
玫瑰：思维的极限啊！
土豆：或者可以试着想象下、、、
玫瑰：等等，你说的是比数字的大小还是比数字的多少啊？
土豆：应该是数字的多少。
玫瑰：一个数字，不管它多大，也只是代表一个？
土豆：一个数字就是1个。
玫瑰：这不跟你拉10头羊，我拉10头羊，像原始人那样比羊多，是一个道理吗！
土豆：是的。
玫瑰：哦，哦，明白，只是穿了不同的衣服，但都是只是一个人而已。
土豆：不同的衣服？
玫瑰：
那我准备这样开头了。时代在发展，社会在进步，你们已经从原始社会呢，进化到现代社会了，现在你们还当上了国王了。
你们的国家都有很多很多的人，数不尽的啊。
一个国家的臣民呢，名字叫1、2、3、4、、、；另一个国家呢叫2、4、6、8、、、
土豆：太棒了。这就解释了，什么是整数集合与偶数集合。
玫瑰：嘿嘿，我还想问一下，这题目讨论中要注意什么？有提示吗？
土豆：估计她们很快会产生争论，争论的结果应该是正确的那个，即整数的个数和偶数的个数一样多。
玫瑰：这真的是正确的吗？数盲很大无畏的提问。
土豆：让同学们说服你吧。
玫瑰：如果在数学里解决是不是得用到极限的计算？
土豆：这种一一对应进行比较的方法，就是数学里边的方法。而且，据我所知，这是唯一的方法。
玫瑰：别回头被忽悠了还不知道，望天，自言自语中、、、
土豆：那你拉个同学一组嘛。
玫瑰：两个无知的人加一起还是无知的、、、
土豆：可以对自己没信心，一定不能对孩子没有信心。
玫瑰：我想到一个，但是好像不严谨。
土豆：哦，说说看。
玫瑰：Count{2,4,6,8, ...} ＝ 2 x Count{1, 2, 3...}
土豆：您的意思是，无穷大 ＝ 2 x 无穷大，是不？
玫瑰：嘿嘿，数盲的想法。
土豆：这个推理在逻辑上有问题。
玫瑰：行不通吗？
土豆：加减乘除的规律是否适用于无穷大，这是需要证明的。
玫瑰：如果孩子们这么说的话，该怎么回答呢？
土豆：这是一种猜测，但是，目前我们都对无穷大不了解，所以，不能用。

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　　外，谁说小四生不能理解无穷大了？请看ccpaging于2008-10-16 23:16:00 发表在WW上的一份数学探究报告。 人家小二生就在研究无穷大了！

　　先准备一个20厘米的尺子。
　　父：当我们要把尺子分成2厘米的小节时，能分成几个小节？
　　子：10小节，写成算式就是 20 / 2 = 10，在这个算式里，20是被除数，2是除数，10是商。
　　父：当我们要把尺子分成1厘米的小节时，能分成几个小节？
　　子：20小节，写成算式就是 20 / 1 = 20，在这个算式里，20是被除数，1是除数，20是商。
　　父：当我们要把尺子分成0厘米的小节时，能分成几个小节？
　　子：没法分了。
　　父：原来我们学过乌龟和兔子过沼泽地的故事。兔子的腿长，一次可以跳2个树桩的距离，需要跳10次。乌龟的腿短，一次只能跳一个树桩的距离，同样的距离跳20次。如果来了一个腿更短的小动物，那么它就需要爬更多次，才能走过沼泽地。
　　子：如果是小蚂蚁，就需要走很多步。
　　父：所以，我们发现，腿越来越短，每次爬的距离越来越小，需要爬的次数也就越来越多。如此反复，直到无穷大。也就是说，当除数为0时，商是无穷大。
　　子：如果是一片树叶掉在沼泽地里，一步也走不动，那它就永远也不可能走出沼泽地了。

007 发表于 2011-3-16 17:06
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　　外，谁说小四生不能理解无穷大了？请看ccpaging于2008-10-16 23:16:00 发表 ...

hxy007表于2008-11-4　17:55　WW

　　今天早上不知什么原因，儿子说起老师告诉他0÷1=0，1除以0也等于0。估计孩子是听错了，但他坚持说就是老师教的。不管怎样，不能让孩子坚持一种错误。于是想到ccpaging这个帖子，既然人家的孩子二年级都能够理解“无穷大”概念，俺家孩子三年级了，应该也没有问题吧。况且，俺家孩子已经开始学小数。和他讨论“无穷大”，有利条件多了。下面是今天早上的父子对话：

　　父：1÷0.1等于多少？
　　子：10.
　　父：行啊！你怎么算出来的？
　　子：因为10×0.1=1.
　　父：我知道你怎么算的了。那么，1÷0.01呢？
　　子：100.
　　父：1÷0.001呢？
　　子：1000.
　　父：1÷0.0001呢？
　　子：10000.
　　……
　　父：我的除数就这样一直小下去，你的商呢？
　　子：我的商就一直大下去。
　　父：我的除数小小小，小到0，小得不能再小了。（其实还可以小下去，但孩子没有学负数，就这样说吧）
　　子：我的商就大大大，大到不能再大。
　　父：对！大得不能再大的数叫“无穷大”。那你说，1÷0=0对不对？
　　子：不对。1÷0应该等于无穷大。
　　看来，学了小数，理解“无穷大”概念更加方便。

　　也许有人会说，hxy007父子的证明更严密，更数学！我倒由衷地认为ccpaging父子的方法更可取，因为它更直观，更有趣，更自由，更具想象力，小孩子的印象更深，而且把握得住。就是说，效果更好！只是我家孩子的问题有所不同，且因学单位换算而开始接触小数，我想知道孩子究竟能否理解小数，才使用了这个法子。否则，光和孩子讨论无穷大概念的话，还是用ccpaging的法子更为恰当。那可是一种富有诗意的数学！

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期待更多的探究，让孩子自己发现知识才能打开思维的大门。
借宝地学习，先打开自己的思维之门

父：三角形、四边形、五边形，下一个是几边形
子：六边形
父：六边形的下一个呢？
子：七边形
父：如果我们的边越来越多，有好多好多个边，数也数不清，是什么？

（儿子想了一分钟）
子：爸爸，我认为是圆
父：为什么是圆？
子：老师说东方明珠上面的球就是有很多很多边，看起来就像圆了。

父：今天我们讲一个分桃子的故事
子：哦（一脸不屑，桃子谁不会分啊）
父：有一天，妈妈给了Alex一个桃子，Alex说：“妈妈，我今天只吃半个桃子，剩下半个我明天吃，好吗？”，于是，妈妈用刀切了半个桃子给Alex，Alex很开心地吃完了那半个桃子。
子：还剩下半个，妈妈放在冰箱里边了
父：是的。到了第二天，Alex放学回家了，妈妈从冰箱里边拿出了半个桃子给Alex。
子：爸爸，我想你肯定不会说：“Alex把桃子都吃了吧？那样的话，就太没劲了”
父：Alex对妈妈说：“妈妈，你把这半个桃子再分一半吧，我吃一半，剩下的放回冰箱”
子：第三天呢？
父：Alex只吃了一半剩下的桃子。你想想，这种吃法，Alex能吃几天才能把桃子吃完啊？
子：（嘻嘻），那不是每天都可以吃桃子了吗？
父：是啊，永远也吃不完
子：爸爸，有个问题，剩下的桃子越来越少，用什么刀子切啊？
父：这确实是个问题，也许到后来，桃子只剩下一DD，我们只能在脑子里边把它分成2半了

等 Alex 学过分数加法，那时，可以把吃下去的桃子再吐出来，这样的话：
1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ... + 1/(2^n) + ... = 1
诸位BBMM，看起来是不是很熟悉啊。

无穷多个数的和居然是1，无限与有限，你中有我，我中有你、、、

回复 #11 ccpaging 的帖子

数学中蕴涵着哲理，美妙！
简单的生活问题，引申出深奥的数学问题，赞！
数学很美妙，先得把自己的思维打开来，学习了.....

007 发表于 2011-3-16 17:06
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　　外，谁说小四生不能理解无穷大了？请看ccpaging于2008-10-16 23:16:00 发表 ...

小一对于我这个爸爸来说是一个教育上十分彷徨和不安的时期。

教什么？怎么教？这个那个可不可以教？教到什么程度？可以说，所有有关教育的种种问题，一齐扑了过来。俺也不知道啊，不是个教育工作者，也从来没有带过孩子。这些问题又都要先想明白，否则，不教则已，一下手，可能就关乎孩子的一生。

现在，俺已经荣幸的升入小学四年级了，按照 007 的“儿子几岁老子几岁”的理论，儿子上小四了嘛。回想起来，一路也是磕磕绊绊，总算是闯了过来，不敢说，就此无忧，总算是有些经验。看着现在的大班、小一、小二，心中也时不时能有点幸灾乐祸的阴暗心理，嘿嘿。

现在，俺要说，对于这个“教”的问题，完全是多虑了。之所以产生的这样多虑，原因还是在于一个“教”字上，在于我们错误地理解了教育。这不是我们的原因，而是我们就是这样被“教”过来的。俺原来理解的“教”，就是把孩子当成一个“白丁”。俺不教，他就不明白，我教了，他还不明白，那么他就是个“大笨蛋”。所以，俺必须“教”，而且还要“教”的刚刚好，“教”的太深，怕他理解不了，“教”的太浅，又怕跟不上大部队。

曾经听说过这个一个故事。一个中国妈妈，在孩子大班的时候，像所有的中国妈妈一样，买了算术课本、识字课本，开始大干起来，准备“教”孩子知识。可是教来教去，结果总是很令她沮丧。这时，她老公说了，我们那儿是不“教”孩子的。老公是个外籍，接受的是法式的教育。中国妈妈奇怪了，那这个孩子怎么学习知识啊。老公说，你要等他问，他问什么，你就教什么，他不问，你就不教。中国妈妈急了，那孩子要是一直不问呢？老公说，你带他出去玩，他就会问。于是，中国妈妈将信将疑地按照老公的方法去做了。整天带孩子出去玩，见风说风，见水说水，看见招牌就认汉字，看见路牌就识英语。

俺教儿子认识无穷大的原因很简单，因为他问了。后来，俺看了数学史。类似无穷大这样的问题，古人一直都在问着，一直都在思考着，本没什么稀奇的。问了就问了，没什么了不起。不问，也没关系，早晚都会问的。

想想我们自己的学习经历，无穷大仿佛是一个禁区。从小学到高中，老师告诉我们，记住了－－“除数不能为0”，为什么？却从来没人说过。甚至在我们心里产生这样的印象，无穷大是个坏东西，你只要碰到它，多半就是想错了、做错了。长此以往，在一些同学心理，莫名地会对无穷大产生恐惧。带着这样的认识进入大学，要专门研究无穷大、无穷多、极限的时候，自然地，恐慌变成了障碍。轮到我们带孩子，在不能重蹈这样的覆辙。面对孩子的问题，答的出，BBMM们就答，答不出，也不要紧，来来来，我们一起认真研究一回！

孔子早就曰过，大叩大鸣，小叩小鸣。俺觉得非常有道理。因为孩子在发问，说明他在思考这个问题，说明他对这个问题有兴趣，说明他在某种程度上准备好去接受这个问题。我们当然不知道该从何教起，教到何种程度，那么就让孩子自己告诉我们吧！在此之前，我们所要做的就是积累、充实自己，同时带孩子出去体验，为“叩”和“鸣”作准备而已。

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                           懒老师才是好老师

土豆：这周活动了吗？
玫瑰：活动了，但这周准备不足，很失败。
土豆：怎么啦？讨论什么题目？

玫瑰：是这样一道题:有兄弟俩,弟弟走路比较慢,哥哥走路的速度是弟弟的两倍。有一天呢,弟弟先出门,走了半小时后,哥哥去追他,问哥哥要多长时间才能追上弟弟。

土豆：嗯,蛮有意思的，没解出来？
玫瑰：没有上次活跃。估计觉得和前两次的太不一样了，以前的是纯理论方面的讨论,这次的好象要计算。
土豆：也可以讨论啊
玫瑰：她们都不开口，于是我鼓励她们猜 。不论对错都可以。
土豆：没人提出没法计算？她们不觉得，条件不足，无法计算？
玫瑰: 没有。她们开始想当然的猜了。有说45的，有说55.5的。
土豆：速度都不知道是多少，怎么计算啊？
玫瑰：她们不管，只顾瞎猜。我问数字怎么来的呀？她们说不出，于是我叫她们能不能先给我解释一下什么叫哥哥的速度是弟弟的两倍。举出具体例子来说。这个她们倒乐意的。

土豆：嗯，很好，创建情景。创建问题情景。

玫瑰：于是她们纷纷说了,比方说哥哥走了两米,弟弟只能走一米。
土豆：那不对吧？
玫瑰：怎么不对?哥哥的速度是弟弟的两倍啊?
土豆：哥哥两秒走了两米，弟弟一秒走了一米，这怎么办呢？
玫瑰：对，应该要求她们把“同样时间”这个条件补充完整。
玫瑰：也有举例说，同样时间，弟弟只能走哥哥一半的路。
土豆：哦，看来同样的时间，这个前提很重要不能省哦。
玫瑰：还有用时间来说明的。一段路,弟弟如果要走十分钟,那么哥哥只用五分钟。反正颠过来倒过去倒说了四五种例子了。
土豆：那么，假设弟弟１秒走１米，先走半个小时，那么就是先走了６０米，这么说对哇？
玫瑰：我没想到要问这么问。我说能不能把这个题目给具体化啊?比方说,自己设个速度行不行啊?她们说怎么设呢?
土豆：可以啊，至少可以试试. 可以把问题的皮球踢回去。
玫瑰：我又没想到这点,她们一问我,我就开始想怎么解答。我看了看地板,地上正好有一块块地砖。我说这样吧,我们也不知道弟弟每分钟倒底走了多少,不如用一块砖代表弟弟一分钟走的路?
土豆：蚂蚁弟弟，走得很慢哦。
玫瑰：她们说好啊,然后一个演弟弟,先走了三十格。接着演哥哥要出发了。
土豆：很好，角色代入情景了.
玫瑰：她们问,那怎么走啊?我说你们刚才不是举了很多例子比方了哥哥和弟弟走路的情景了吗?现在弟弟每分钟能走多少啊?
玫瑰:她们想了想开始了,先数了一,“弟弟”走一格,“哥哥”同时走了两格。然后接着接着数二，不一会就大叫,三十分钟.三十分钟我就追上她了.然后就很高兴地跑开了,不玩了。我想再问点什么都没办法了。
玫瑰：后面这段就是最失败的地方了。她们觉得她们已经把我的问题回答完毕了，任务就完成了。
土豆：她们只是按照你的要求完成任务，没有主动地思考。
土豆：在她们问你问题的时候，你的应该想办法把问题踢回去，而不是思考如何回答。
玫瑰：我没有引导好。
土豆：即便是要引导，也要给出错误的数据。这就像我们大学老师经常故意板书错误一样的
玫瑰：我有时候思想还没转换过来。
土豆：习惯地去回答了。
玫瑰：嗯,没错。
土豆：你可以从“一段路,弟弟如果要走十分钟,那么哥哥只用五分钟。反正颠过来倒过去倒说了四五种例子了”开始设置问题。
土豆：在“举例说明”这块，如果是我，我会装不懂，直到童鞋给出具体的例子。反复地质疑，质疑到童鞋急，质疑到童鞋把这个问题说到足够清楚和细致
玫瑰：我觉得说了四五种,好像应该也是明白的了,就没再追问下去。这次我觉得有点不会提问。想不出应该问她们什么。
土豆：这是“教”和“Bring out”的区别。
玫瑰：嗯,这个内容现在好象只学了一半。说不懂吧,懂了一点,说懂吧,其实她们又没能总结出规律。
土豆：到她们问你问题的时候，一定要记住，忍，再忍
玫瑰: 没忍住,而且习惯性的觉得应该好好回答。
土豆：要和他们纠缠。纠缠到他们把条例整理清晰为止。
玫瑰:：我没有，而且还想了好一会怎么说才能让听懂,所以说有时角色还是没能转变过来。
土豆："bring out"的意思是，童鞋们是知道的，只是忘了，老师的责任是鼓励她们不断地回忆，直到清晰的想起来，想清楚，而且还能讲出来。

土豆： 好老师是懒老师。 懒老师才能培养出勤快的学生。

玫瑰：我是帮她们出主意帮太多了。

土豆：慢慢来 ，下周再接著折腾，问下去。

玫瑰：那这个题还能不能拓展下去啊?

土豆：那道题，先不说拓展，一个个问题纠缠清楚了，速度相关的概念全清楚了，以後再也不用在速度问题上操心了。永远不要给答案，一是问，二是再问，三是继续问。用一个个问题来激发她们体验思考。

玫瑰：我还可以从哪些角度问些什么问题啊？

土豆：比方从“哥哥走了两米,弟弟只能走一米”这地方就可以问：“ 哥哥两秒走了两米，弟弟一秒走了一米，这怎么办呢？ ”

玫瑰：嗯,没有时间坐标。只用了路程来表达。
土豆：回答这个问题，就是搞清楚速度跟路程和时间都有关系。其实她们知道，但我会让她们清晰地记得，并且表达出来这个概念。

土豆：又比如，“比方说:一段路,弟弟如果要走十分钟,那么哥哥只用五分钟”这个要逼童鞋去举例。
玫瑰:要说到什么程度?这个不够明白么?
土豆：类似这种程度，“那么，假设弟弟１秒走１米，先走半个小时，”假设出速度的具体值。只要她们不假设，我就表示不明白。
土豆：实在不行，我就问：我还是听不明白，我最笨的，要不你们就说一个速度是多少吧？她们可能随便假设一个速度，但，我不接受。一定要她们选择一个合理的假设。
土豆：现在是老师笨，要童鞋们来简化。这样，童鞋们才有劲。她们得不停的思考，解释给我们听，让她们思考，这是我们的目标。
土豆：弟弟的速度假设出来了，哥哥的速度也就定了.这时，可以开始作图和计算了。用砖来走也可以。
玫瑰：是不是要讨论到可以自己总结出规律?

土豆：对。讨论到这种程度，是否解出题目都不重要了。至少也把速度复习了一遍。

玫瑰：比方能说出问题的关键是看每分钟的速度差？

土豆：你不妨放弃这些目标上的假设，完全跟随童鞋的思路走。我们要少动脑子，我们动的越少，童鞋的脑子就动的越多。也许会引出芝诺悖论呢。
玫瑰：嗯,我是习惯了,先想好了思路,然后引导她们走。

土豆：好的老师，要站在队伍的后面，推着童鞋们走。你都站在前面，其实也挡住她们的路了。
玫瑰：就是有时候会忘了,习惯的想引着她们走。所以她们按我的思路走了一遍,然后就觉得完成我布置的任务了。这也是这次失败的地方。

土豆：你没法布置你不知道的任务，也无法把他们引导到你未知的领域。

玫瑰：可能也是对她们的信心不足,觉得如果我也不会的话,光靠她们的话能不能解决这个问题。

土豆: 总结下，下周再重新讨论。小四可以自设情景。

玫瑰:那我要再好好设计些问题。务必要她们都能说清楚才算
土豆：哪些所谓优秀老师也是这么一堂堂课折腾出来的。

史上最无知的老师：苏格拉底的小九九及苏氏产婆术
　　如果说孔子懒于主动施教，那么，苏格拉底老师就主动得多了。不过，他也不教。他跟孔子一样聪明，不让学生发现他的小九九。为了不让自己因无知而在学生跟前丢脸，他就不停地向学生提问，让学生来回答问题。逮住人家回答中的毛病，追问个没完没了。

　　苏格拉底，本是古代雅典的一个普通石匠。他年轻时虽然参过军，但默默无闻。年届不惑时，他的人生才出现转机。他老婆可能是到了更年期，整天对他唠叼个没完，还打骂交加。这个史上最强的悍妇，弄得石匠师傅苏格拉底心烦意乱，百无聊赖。实在忍受不了老太婆的恶骂和毒打，苏格拉底天一亮就跑出家门，整日在雅典广场和街道闲逛，逮着年青人就跟人家聊天扯淡。
　　苏石匠健谈，这在雅典城邦是出了名的。从他弟子柏拉图的《对话录》中可以看出，他可是一个超级的废话大师！不过，那些有钱有势的公子哥对他钟爱有加，经常请他到府上闲扯，打发时光，顺便学点什么东西。苏石匠说废话的天才终于有了用武之地，经常和那些哈苏青年通宵达旦天南海北地神侃。侃着侃着，说着说着，一不小心，就成了西方有史以来最伟大的哲学家，成了西方教师职业的祖师爷。

　　苏格拉底的教育方法史称“产婆术”。这个不怎么雅的名称，全都是因为另外一个跟他有关的女人——苏石匠他妈。苏妈妈是个接生婆，或者说，是一个助产婆。小苏自幼就明白一个道理：妈妈接生下来的孩子，并不是自己的小弟弟；妈妈的本事，并不是生了许多小孩子，而在于她为别人接生了许多小宝宝。等他中年成名，许多哈苏青年盛赞他是整个希腊知识最渊博的老师时，他非常谦逊地说：我并没有知识，如果有的话，那就是我知道“我无知”。你们的知识，并不是我教给你们的。你们本来就有知识，我只不过是通过一系列的追问，使你们回忆起灵魂早已拥有的知识。我和我妈差不多，不过是知识的助产婆。
　　苏格拉底像孔子一样述而不作，并无著作传世。他的观点据说散见于《理想国》、《对话录》、《回忆苏格拉底》等对话录中。但从这些对话录里，根本就不可能读到他在什么时候正面而明确地表达过自己的观点。从这些对话录里，也几乎就看不出他教了学生什么东西。这个无知至极的老师只是在不停地问呀问，尽让别人回答，好像他才是学生。

　　（一）使自以为知者发现自己的无知

　　苏格拉底曾经和一个从来没有学过几何学的孩子谈论正方形面积问题。他问：小朋友，这是一个四边长都是1米的正方形，有人告诉你说，这个正方形的大小面积是1平方米。那么，请你再告诉我，有个边长是2米的正方形，它的面积有多大？
　　苏老师边说边在地上将原来那个1米见方正方形的边长延长到2米。小朋友一看这个大正方形包括4个1平方米的小正方形（如图1），便说：这个正方形有4平方米大。

　　苏老师：哈哈，小朋友真聪明，知道边长2米的正方形面积是4平方米。现在，有一个面积是8平方米的正方形，你能告诉我它的边长有多少米吗？
　　学生自信地说：这个我也知道，面积大一倍，边长也要大一倍。这个正方形边长是4米。
　　苏老师当着学生面，把地上那个正方形由原来边长2米延长为4米，画出了一个更大的正方形（如图2）。

　　小孩子一数，这个大正方形竟然包括了16个1平方米大的正方形，或者说，包括了4个4平方米大的正方形，赶紧否认他原来“8平方米大的正方形的边长是4米”的说法。
　　苏老师问那学生：8平方米大的正方形的边长不是4米，会是多少米呢？
　　学生说：不是4米，就是3米。
　　苏老师又在大图中标出一个边长为3米的正方形，让学生观察其中有几1平方米的小正方形（见图2）。学生一数，发现它有9个小正方形，因此面积是9平方米，而不是8平方米，于是又否定了“8平方米大的正方形的边长是3米”的猜测。
　　苏老师问：8平方米大的正方形，它的边长既不是4米，也不是3米。你说，它的边长到底有多长呢？
　　学生为难地说：老师，我不知道它的边长是多少米。

　　（二）使自以为无知者发现自己的知识

　　苏格拉底见学生承认自己无知，又大加安慰：小朋友，别说得那么早，说你不知道，你其实是知道的！你看，这个16平方米的大正方形，有几个4平方米大的正方形？
　　学生说：4个。
　　老师：那么，这个大正方形是4平方米大的正方形的几倍？
　　学生：4倍。
　　老师：要是在这个16平方米的地盘上，用土填掉多少才会得到8平方米的地盘？
　　学生：要填掉一半，填掉8平方米。
　　苏老师：那就请你试试看，填填看。
　　学生看了一会儿，想了一下，沿着那4个4平方米的正方形对角线，把它们一分为二，还真地用土把大正方形的四个角都给填掉了（如图3）。

　　苏老师问他：你填下来的这个正方形有多大呀？
　　学生说：16平方米的地盘填掉一半，还有8平方米。
　　老师问：这个8平方米的正方形，它的边是什么呢？
　　学生指着一个4米平方米的正方形说：这个正方形的边，是比它面积小一倍的这个正方形从一个角的顶点到它对角的顶点。
　　苏老师说：你可以把这两点连起来的线段叫“对角线”。那么，请告诉我，比4平方米大的正方形大一倍的正方形，它的边长是多少？
　　学生：大正方形的边长就是小正方形的对角线的长。
　　苏格拉底老师欣慰地说：你看，我不是说了，你实际上是知道8平方米大的正方形边长有多长的！你说，这个知识是我教给你的吗？
　　学生：老师，我也说不清楚。好像您没有教耶，您就是在不停地问我。您提的那些问题，让我想起来了，最后找到了答案。

　　苏氏产婆术的基本精神，就是将简单的问题往复杂方向整，干脆一点说，就是折腾——不断地提问，直到使那些自以知的学生发现自己的无知；人家好不容易承认自己无知了，他还是不依不饶，继续不断地提问，使这些自以为无知的学生发现自己的知识。依今日之聪明且重学习效率的BBMM及老师之见，苏格拉底简直就是在浪费自己和学生的时间、生命。这么简单的一道题，直接告诉那位小朋友正方形的计算公式不就结了。掌握了这种面积计算公式，立即就能够明白4米见长的正方形面积不是8平方米，而是16平方米。历史真是开玩笑，竟然选择了如此愚蠢的苏格拉底作为人类迄今为止最伟大的哲学家；西方人真是滑稽，居然把苏格拉底敬奉为职业教师的祖宗。

验算过程的小插曲---“懒”也是前进的一种动力

土豆 ：玫瑰最近有没什么心得啊 ？

玫瑰 ：没有活动啊，不过这两天在盯她数学验算。

玫瑰 ：第一遍做完总是要有好几处计算错误。

土豆 ：波澜不惊了？嘿嘿，正常滴 。你习惯了就好了，她习惯了，也就好了。

玫瑰 ：做完以后叫她验算，验算完发现还有错,叫她拿草稿给我看，发现就是找不到那道错题的验算竖式。

土豆 ：嘿嘿，跟我儿子一式一样。

玫瑰 ： 也就是说她是挑着来列式的，自己觉得很简单的就跳过去不列竖式了，但恰恰是这种自以为简单的计算常常会出错 。

土豆 ：这一点，跟我原来很像的 。老师说，这就是“自以为是”的生动诠释。

玫瑰 ：所以我现在跟她说，你自己以为是不行的，所有题目必须都得验算。

玫瑰 ：全部！一题也不许漏，都得给我列式验算 。

土豆 ：开头的时候，要这样严格要求 。

玫瑰 ：两位数乘两位数的也用心算,不知道怎么算的,我们大人都没这本事 。

土豆 ：心算是可以的，但是如果我们要对答案负责的话，那么检查就一定得按部就班，反复地去做。不仅小学生要这样，科学家们也是这样的。 否则，飞机是飞不上天的。

玫瑰 ：哦，她在检查过程中说自己“发明”了一种带小数数字的乘法的计算方法。

土豆 ：哦，什么方法？

玫瑰 ：先说说题目吧，题目是这样的：64.8*5 +24.2*5=? 她说老师还没教怎么算 ，老师叫他们先用加法来算吧。加五次。

土豆 ：哈哈！这个老师很棒 ！

玫瑰 ：毫无悬念的，加到后来出错了。我叫她重新算，她重新加完了第一个算式64.8*5，叫她加第二个24.2*5，她有点不耐烦了,五次五次又五次了。

土豆 ：那是，搁我，我也不耐烦了。

玫瑰 ：她觉得很烦，盯着刚加好的64.8*5看了好一会儿，然后跟我说我想出办法了。

土豆 ：好，开窍了，学会思考了。

玫瑰 ：她说我可以把小数点去掉,这样 64.8变成了648,这整数648乘5我是会算的。算完后我再把小数点加上去。
玫瑰 ：我说这能一样吗?她说行的,不信你用计算器验算。说完自己去试算然后拿计算器敲给我看。
玫瑰 ：我说那小数点加哪呀?
玫瑰 ：她说往前移一位呀！
玫瑰 ：我说为什么是移一位啊?
玫瑰 ：她说因为64.8就只有一位小数呀！
玫瑰 ：我说那如果是64.88*0.5呢?那移几位啊?
土豆 ：苏格拉底来了。
玫瑰 ：她呆了一下,说题目里本来只有一位小数呀,所以就移一位啰。现在两个数字都带小数嘛......她使劲想着.....
玫瑰 : 我问她你把64.8变成了648了,那相当于给它做了什么变身了?
土豆 : 问的好!
玫瑰 : 她反应过来了,说对呀,我把它变大了,我把它先乘了10,所以后来得给它除回10,所以就是移一位嘛。我就说我的办法能行的嘛,我的办法是有道理的。
玫瑰 : 我说那64.88*0.5呢?怎么办啊?
土豆 : 苏格拉底还记着这个茬呢。

玫瑰 : 她说那简单啊,64.88变成6488等于乘了100,0.5变成5等于乘了10,那么得除去1000才行,对不对啊(其实她也不是很有把握)? 我说我不知道哦。于是她自己拿纸算了一次,移好小数点后再拿计算器敲了一遍,没错!她很高兴的说就是这样的!
土豆 :太棒了！

玫瑰 :做完题之后很是得意啊,说这么简单老师都不教,还叫我们加了五次.那表情,呵呵,不太记得刚才自己也还不会的!
土豆 :这就是Education，“Bring out”，把她的思想带出来了。她自己还不觉得。当个苏格拉底容易吗？
玫瑰 :啊? 就是一个移小数点啊?别的小四生可能早就学会了。
土豆 :不简单哦。被教出来的和自己发现的，区别大了。不是说，结果有什么惊人，重要的是这个过程。有验算和反思，就灰常不一样了。如果只是抱着完成任务的心态，草草了事，后面的这些都不会发生了。

玫瑰 ：那看来那五遍五遍的加法没白算啊!

土豆 ：嘿嘿，这下体会到数学老师回答的妙处了吧。

玫瑰 ：而且，也不是一定得搞什么大的难的题目才算学到东西嘛。

土豆 ：不必过于追求难题。通过一次研究，同学有了自己的发现，对数学产生了兴趣，增强了自信，那就是非常有价值的。

这么好的记录，我终于看明白了。

请教楼主：  现在到底该去哪里看您和007们的讨论呢，真的要串几个门？

ccpaging：有一些数小于20,一直减2多1,一直减3也多1,这些数字是几？

BBMM先做一些准备吧。答案很简单，在1-20之间符合条件（除以6余1）的数就可以了。

不过，根据某些BBMM认为的，“你们这亲子数学不就是把简单的问题往复杂里整吗？”，所以咱们不能这么简单。
另外，先声明一点，以下的内容只针对二年级的孩子，理由吗？儿子二年级，我跟儿子一个班，所以他们讨论的问题限于二年级及其以下。

第一步，蒙
“这是什么题啊？”，这是儿子的第一反应。说是减法吧，怎么又搞出个“一直”减，乘法除法好像不可能，题目里边没有讲乘除法啊。
所以，儿子万般无奈下，只好举起了“蒙”将军的大旗。
先蒙一个数“8”，不是，不符合一直减2余1的条件。再蒙一个数“7”，嗯，这个数好使，就它了、、、
儿子在“蒙”将军带领下，迅速占领了7、10、13、16号阵地，回头一看，有规律，好像是隔3就可以啊？
（画外音）“儿子同学，好像你只考虑了3这个条件，还有个2的条件没验证哦？”
儿子说：“嘿嘿，我忘了检查有关2的条件了。”
蒙将军是非常勇敢的，如果多点智慧，就更好了。
很快，新的结果出来了：7、13、19。

爸爸的话：
老话说“万事开头难”。
如同孩子学走路，那时孩子还没有完善的语言能力，即便有，世界上恐怕也没有一个老师，能把怎么走路用语言描述给孩子听。如果你看到一个BBMM跟学走路的孩子讨论类似神经、反射、肌肉群、骨骼，会觉得很可笑吧。更进一步，你也没看到过某个BBMM在教孩子走路前，去学习或者辩论有关神经、骨骼的问题吧？
那孩子怎么学走路呢？其实很简单，在基本条件满足的情况下，BBMM所要做的第一步通常都是鼓励孩子走出第一步。这一步可能歪歪斜斜，可能左摇右摆，南辕北辙更是无可避免。但是只要孩子走出这第一步，每个BB或者MM必然都是欢呼雀跃。这第一步肯定不完美，但又有什么关系呢，即便是摔个跟头又如何！这也不过是人生的第一步，这一步跨出去，我们可以去体会，可以去探索，可以校正，可以走的越来越好。

第二步，顿悟
父：“你确定我们已经找全了吗？”
子：“确定。因为我们从1到20都试算了一遍。”
父：“其实有些数是不用试的，你说呢？”
子：“没错，像1、2、3都不用试。”
父：“为什么？”
子：“因为他们比3小。”
父：“我刚才看你没有一直减，而是用除法，可是题目里边没有说到除法，也没有“分”东西什么的，怎么会用除法呢？”
子：“一直减，其实就是除法。”
父：“这只是你说的，没有给出一个理由，我不相信的。这样吧，你讲一个故事来说明吧。”
子：“嗯，这很简单。老师有7个苹果，分给我们3个人，MM、我、你，老师分的时候，先给MM2个，我2个，你2个，这不就是除法吗？”
父：“哦，我明白了，这确实是个除法。”

爸爸的话：
终于从减法突破到除法了，这很难。有BBMM可能会问：
“有没搞错？除法学了一个学期了，二年级的小朋友没有不会做除法题的。你怎么会说很难？”
我承认一点，只要给出算式，别说是除法，儿子连2位数、3位数的除法都会做。
可是，真正的问题在于：我们从来没有发现在生活中某个问题上面立了一块牌子，上面写着算式。
所以，会做除法算式离问题的解决还很远。而这段距离，对于现存的解题系统而言，甚至可以是咫尺天涯，更不幸的是，确实有人一辈子都在解题系统里边打圈圈。

人的大脑很奇妙，我们经常说里边有理智的部分，有情感的部分。对照计算机的理论，我理解：
大脑中理智的部分像计算机的逻辑电路，输入是什么，输出就必然什么。
而大脑中还存在一种非逻辑电路，输入是什么，输出却不一定是什么，往坏了说，就是“瞎搭白搭”。如果搭对了，这就不简单了，小了说是灵机一动，大了说叫“灵感”。
以上是猜测，也就是“瞎搭白搭”。

如果你相信这个猜测，那么就面临一个新的问题：为什么有的人搭的对，而且经常搭的对，有的人就总也搭不上呢？
在这道题里边，我相信一个“余”字对儿子搭到除法是有启发的，而一直减的过程，使其确定搭的对。

要回答上面的问题，我以为还要绕回到我们的“解题系统”，简单地说，我们通过在解题系统里边的研究，开始只是感觉到朦朦胧胧地感觉到有什么东西，其后在不断地“瞎搭白搭”的过程中，这种规律逐渐清晰起来，最后经老师轻轻一点，通了。这么说，解题系统的存在是有意义的，可是，对照我们现存的解题系统，我们给出了问题，给出了答案，甚至给出了标准的解题过程，而忽视了其中最重要的东西，“瞎搭白搭”，所以说现存的解题系统存在问题。

试想一下，小水滴从云颠滴落下来，她要怎么才能达到最终的目的地－大海。

汇集更多的小水滴
变成小河
不断地尝试，寻找更低的山谷
不断地冲刷她遇到的一切阻碍，如高山
或者寻找绕过阻碍的途径
汇集更多的小河
变成强大的江流，一往无前地奔向大海

如果你相信我所相信的，那么我们就把”从来不相信刻苦学习（题海战术、机械训练）“，和我们处处在这个帖子里边解题（还是超慢、超繁复地在解题），“瞎搭白搭”在一起了。
套用台湾李大哥的一句话，“当然，这只是个建议。”

（未完待续、、、）

007：孩子们合作探究数学  
    有一些数小于20,一直减2 多1,一直减 3也多 1,这些数字是几？   
  
    今天我领着仨孩子上学，他们都是明强小学三年级生，比ccpaging高一个年级。   
    在车上，我报出了ccpaging出的这道题，要求他们先想一想，然后说说自己的答案以及自己是怎么想的。   
  
      （一）瞎蒙   
  
    不料，同车的男孩管不住自己的嘴，立即说是10。我孩子说不对，10减3个3余1，可是10 减5 个2不能余1了。那男孩又说是20，我孩子又 说不对，20可以被2整除，不会有余数。男孩大喊：“19可以！”我孩子也认同，这个数被2和 3除的话都余1，满足条件。但是，他们显然是在瞎蒙。不过， 毕竟高了一个年级，他们在验证时使用了除法和余数概念。   
  
      （二）有序试算   
  
    我问他们：除了19以外，还有没有别的数一直减3会余1，一直减2也余1？  
    20里面还有这样的数呀？   
    是啊！你们看看18行吗？   
    不行！两男孩和同车的女孩异口同声，立即作出反应。   
    那17一定行了！   
    也不行。   
    那你们想想看，到底还有哪个数行？   
    他们开始降序试算。我孩子试算得快些，报出：13可以！   
     
      （三）找规律   
  
    我问：还有吗？继续试算下去，看一看，还有没有合乎条件的数。   
    人家不愿意这么笨地继续试算下去了。   
    三个人在讨论正确答案有什么特点。   
    女孩说：这个数一定是单数，因为双数的话，就会被2整除，没有余数。   
    我儿子说：这个数被3除会余1，被2除也会余1.   
    儿子说到这里，又大喊起来：7也可以！   
    我乐了：对！——7、13、19都是正确答案。你们看，这三个数有什么关系？有什么特点？有什么规律？   
    沉默几秒钟之后，男孩说：13比7 大6，19比13也是大6.   
    我说：好像是这样耶！照这么说，在比20大的数里，你们也可以找到更多符合条件的数了！你们一个人说一个来看看。   
    男孩子说：30.   
    立即被另外两个否决。女孩说：31倒是可以。我儿子接着说：37也可以。  
    讨论到这里，车子已经到了校门口。我给他们布置的任务是：再想一想比20大的数当中还有哪些数符合条件？它们有什么规律？我跟孩子说好了，晚上继续讨论。   
    待续……   
    按照一些讲究效率的 BBMM 和老师的想法，直接告诉他们这个数就是“6 的倍数加 1”，不就结了！整那么复杂，费那么多事，何 必呢？！嘿嘿，我们宁愿让孩子自己去探究，自己去发现！他们虽然看似只做了一道题，实际上他们在不知不觉中已经做了许多道题，这些题目是他们自己主动给自 己“布置”的。妙的是，做了那么多题，他们还不觉得累；更妙的是，他们在这种讨论和探究中，非常灵活地在使用乘除法规则以及余数概念；最妙的是，他们兴趣 盎
然。这个学习日的开头，开得真好！   

jyuntoku：
    看到是未完待续。 我想还是看完再发言吧   

hxy007：当心ccpaging  
    是啊！是得当心ccpaging!这伙计，不知道他会卖什么关子。稍不小心，就着了他的道。   

jyuntoku：  
    你自己不也搞了一个“待续”吗？  

007：咋就忘了说自己呢？   
    是是是，偶也是阴险小宁！   

ccpaging：  
    知我者，007也。布设口袋阵，埋伏中、、、  

007：等待中  
    哪里哪里！小宁之间的相互理解而已。 等着你家的续篇呢！别吊人胃口了。  

yiyilaoba:
我觉得007说的是一种方法，特别是按照一定的秩序试算，是一种普遍通用的方法。不过我比较倾向用直接的数学方式，当然也不是直接告诉他们这个数就是“6的倍数加1”，   
  
解读题目：   
问题：找一些数   
限制条件一：<20：{1,2,3.....19}   
限制条件二：一直减2余1：{3,5,7,9,11,13,15,17,19}   
限制条件三：一直减3余1：{4,7,10,13,16,19}   
  
概念：set（集合）   
  
再次解读题目：在三个限制条件形成的集合中找出相同的数。   
  
答案：{7，13，19}   
  
引申：集合的数学记号（{}），集合的运算（交集等），mod运算   
  
非数学引申：物以类聚，人以群分..........   
  
如果小孩子理解集合这些概念有困难，可能可以等他们长大一些。   
  
解读题目其实就是用自己的数学知识来描述问题、建立数学模型的过程。我觉得
这是小孩子学习数学过程中需要着重培养的一种能力。   
  
可能这样太过serious，习惯“快乐”的小孩子不一定适合的。  

007：边走边看
    兄台这个提示，让我想到了另外一种快乐辅导法，如果有机会我一定用上。兄台的提示，也让我想起了初中学过的集合，将来我的孩子想必也会学的。但这并不意味着，他们现在就不可以有数学集合思想方法的启蒙。   
    您要是早些提醒我，或许我今天早上就会用另外一个样子让孩子玩这道数学题了。我会让我儿子管第一个集合（小于20的数），让那位男孩管第二个 集合 （一直减2余 1的数），女孩管第三个集合（一直减3余 1的数）；再让他们两
两找共管的数（交集）；最后让他们找三人共管的数（7、13、19）。这个 法子，也会玩得很起劲的！对不起，我又想玩了。   
    现在他们走了另外一条道路，那就让他们走下去吧。反正总结规律这一步还没有走，谁知道还会发生什么呢？也许他们会形成“这个数是6的倍数加 1”的结论，也许他们会使用您提到的这种集合思想与方法，也许会总结出别的什么，
但也许什么也没有总结出来。如果是最后一种情况，我也会觉得很正常。不是 说过吗？初中还会学呢！何况人家都试算出来了，何必苛求呢？   
    非常赞同如下观点：   
    如果小孩子理解集合这些概念有困难，可能可以等他们长大一些。   
    解读题目其实就是用自己的数学知识来描述问题、建立数学模型的过程。我觉得这是小孩子学习数学过程中需要着重培养的一种能力。   
    鉴于我孩子最近暴露出来的见数字就列式计算的机械数学倾向，我尤其赞成后一点，确实要重视孩子的数学建模能力的培养和提高。   

yiyilaoba：  
007强调的快乐辅导，还有ccpaging兄台，我的理解是采用一种小孩子容易理解和接受的方式来启蒙他们，在这一点上，我想举两只手+两只脚来 表示赞成。只是，在如何让小孩子容易理解和接受上，我更赞同jyuntoku兄台的想法，尽量
用数学的语言和方式，而不要为了快乐而快乐，采用（确切的 说，滥用）很多 “糖衣”来包裹“数学”。   

纯粹个人看法，交流交流    
求同存异，各取所需   

ccpaging：埋下一粒种子  
俺喜欢埋下一粒种子，耐心等待，看看发出什么样的芽。   
  
数学的建模需要对事实的判断和凭借。例如，如果生物学家可以给出一条鲸鱼在大洋里边位置的数据，那么数学系就可以给这条鲸鱼建模。如果没有生物学家的支持和验证，这个模型就跟猜测差不了多少。如果有生物学家的理论支持和观察数据验证，这个模型的意义就完全不同了。   
  
所以，现阶段，甚至到了初中、高中都不建议去建模，因为建模需要在一定程度上掌握数据所涉及各种知识，讲到这，听起来更像是一个交叉学科的东西，交叉学科蛮流行的，收益也不错。   

yiyilaoba：
非常赞同。有的时候，家长要做的就是在旁边欣赏小孩子的成长；
这个过程，也是家长完善人格，自我成长的过程。  

007：对数学建模的一种外行看法  
    各位精通数学的BB，我可能理解错了，或者说误用了“数学建模”。我对这个词的小学水平的理解是：对于一个问题，先根据已知条件，设想出一种解决问题的方案，然后用数学表达式表述这个方案，这就是在建立一个解决问题的数学模型。不知道，这样理解“数学建模”对不对？  

ccpaging：我理解的“建模”

举例说明，我理解的“建模”是指：   
  
、、、前面明确题型啊什么的、、、   
（1）两头都有间隔物时，段数+1=间隔物数，或者，间隔物数-1=段数；   
（2）两头均无间隔物时，段数-1=间隔物数，或者，间隔物数+1=段数；   
（3）仅一头有间隔物时，段数=间隔物数。   
  
前面先给研究对象加上若干限制（边界吧？），后面这几条就是建筑在研究对象上的数学模型。   
  
至于到后来，甚至要抠表述的字词，也可以被理解成“建模”的一部分。   
  
再举例：   
立体几何就是一个相对比较独立的数学模型，其基础为四大公理。   
这里边有一个疑问，立体几何已经发展了几百年，定理定义都非常成熟了，作为一个学习者，是不是只要记住这些定理、定义、推论就可以，还有必要重新推导一次吗？   
其实非常有必要，这有以下几个原因：   
1、立体几何是不能自证其是的系统。否则就不会存在四大公理。而且，数学乃至其它人类的知识系统都不能自证其是。   
2、立体几何的运用是有条件的，在某些条件下，例如满足四大公理的情况下，立体几何的定义、定理、推论是成立的。   
3、我们把立体几何称之为欧几里德几何，如你所想，这个世界上，还真有人在研究非欧几里德几何。那就是在不满足四大公理基础上的几何学。据说非欧几何被用于解决量子理论、弦理论的相关问题。   
  
从这个例子，我们就可以了解数学家们为什么要及其小心翼翼有地对待定理、定义、推论，因为即使是一个发展了几百上千年，经过无数世界上最聪明的脑袋推想出来，并予以验证的定义、定理、推论，仍然可能被推翻。   
  
再进一步考虑，当我们的孩子将来进行创造性工作，面对未知问题的时候，他们可以引以为凭的还能是什么？   
  
所以，个人意见，不过早地去学习如何建模，尽量遵循水到渠成，更要杜绝草率的建模。   
  
007老兄不用过于担心，你那些都不算是建模。我们只是力求给孩子展示出一个问题，让他们自己去 Explore，不预设答案，更不预设过程，孩子们得到的每件宝贝都是他们自己的，其实也是给BBMM们、老师们的礼物。前面那个“孩子们合作探究数学”是个非常有益的尝试，它证明了，孩子们是可以互相合作解决问题，并使彼此都有所提高的。   

yiyilaoba:
这叫背公式，不是通常讲的建模。数学建模是一个通过抽象和逻辑思维来描述问题和解决问题的过程。前面那个2 啊3啊的题目因为研究对象就是数，所以建模并不是太难，小二小三的应该可以做做。  

火车是运茶的:
孩子们长大以后如果从事创造性的工作，不会每个任务上都写好了一二三四的指令，很多时候需要自己去摸索，你这样从小培养起来的探索能力就会派上用场。赞一个！  

007：以后我也不轻率使用“数学建模”了
    我下午出差在外，傍晚电话询问儿子对早上那场讨论的进一步想法，人家已经没有兴趣了，说：不就是从7开始，加6，加6，一直加下去。看来，还是小同学在一块，七嘴八舌，更能够刺激孩子不断地深入思考。连同伴之间的错误，都成了彼此进步的资源。   
    不知道回去之后还能不能唤起儿子继续探究这个问题的热情。   

Jupiter:
三年级了，可以引入最小公倍数的概念了，肯定一听就懂，顺便把最大公约数也教了。。。现在的教材编得乱七八糟，四年级下学一点分数，而预备班也在做最大公约最小公倍的题目，  

007：学孔子还是学墨子  
    是的，我准备了许多，可我家那小子就是不接茬，只好慢慢地等他了。我为什么不主动一些，多给他一些，或者狠狠推他几把呢？除了现在的老师已经教得过量了之外，还跟孔子的误导有关系。   
    孔子是消极教育的祖师爷，自比是一面鼓，“叩则鸣，不叩则不鸣；小叩则小鸣，大叩则大鸣”。他宁可暗中替学生（孩子）着急，也决不死皮赖脸， 主动施教。只有等到了学生（孩子）有充分的准备，并且有了主动学习的倾向、需
求，他才多有保留地给点教导。孔子说过这样的狠话，为自己的懒惰辩解：你“不愤”，我就“不启”；你“不悱”，我就“不发”；万一我忍不住，给你说了屋子里某个角落的情况，你要是不能推知另外三个角落的情况，那我就懒得跟你啰
嗦 了！   
    孔子真他奶奶的狠。我是做不到，却心向往之。所以，我就是忍住不说类似 “那个数其实就是6的倍数加1”这样的话。孩子要是能够自己想到这一点了，那我就一定会像兄台指点的那样，立马跟他进行“最小公倍数”的讨论。   
    今天的老师和家长更像是墨子，那么有使命感，那么负责任！墨子也自比是一面鼓，但他觉得自己是一面自鸣鼓，“叩则鸣，不叩亦鸣！”人家都不愿意听了，他还在那里像《大话西游》里的唐僧，叽叽歪歪，嘤嘤嗡嗡。唉，为了避免成为唐僧，我就算是想向墨子学习，也得小心一些，谨慎一些。   

ccpaging :
其实我也准备了最小公倍数。而我的儿子还没准备好去理解，这道题的答案是“除6余1”，所以我的帖子还只能是“未完待续”。  
说到孔子和孟子，俺也不知道该学哪个。貌似都是大教育家，大思想家。看起来，孔子更加可爱，因为他遵循了一个放牛娃的道理，“牛不喝水，强按头，是没用的。”   
难怪孔子历年历代地被授予教育界的最高职称。而刻苦如墨子老师，却总是稍低一筹，不公平啊。   

火车是运茶的：
我在想，如果孩子能够理解到一直减3直到1，等于从1开始一直加3这层关系的话，做起来又是另一个过程。 可以考虑这样是不是能够重新勾起孩子的兴趣。  

007：多几种备用方案  
    感谢火车老师提供了一种重启讨论的方案。   
    我也想到了一种，即简化原题成这样：有些数一直减2可减成0，一直减3也可减成0，这是一些什么数？让孩子寻找到6、12、18、24……… 的规律。在这个基础上，回到原来对ccpaging题的讨论，看一看7、13、19、25……的规律。这样架了一个梯子，好象可以降低难度。是否可行，等 试过才知道。  

ccpaging:  
    画图，就像兔子，乌龟等过沼泽地。我们来看看动物们的脚印在哪里？算了，听从眼皮的召唤，洗洗睡吧。罗马不是一天建成的。   

007：创造一段亲子数学的佳话  
    哈哈，为了我家孩子，烦劳各位大师级BB 齐上阵，共同想办法。荣幸之至！感激之至！！我一定要设法引导孩子进行下去，创造一段亲子数学的佳话！！！  

我又来重新学习了

回复 #20 ccpaging 的帖子

看了这个题目, 觉得儿子可能会感兴趣, 于是告诉他题目. 他不明白什么是一直减2余1,我就举了2个例子,3和13一直减2最后就余1.
儿子很快作出来了,{7，13，19}   答案正确.
我问: 你是怎么作的?
儿子: 减2余1就是单数,然后在单数里面找.减3余1就是3的倍数加1. 然后就算出来了.
我问: 你还有其他办法吗?
儿子摇摇头.
我指着电脑让他看三个限制条件形成的3个集合.问:你看看别人是怎么做的?
儿子说: 就是把3组数都列出来,然后找出重复的.
我问: 你觉得这个方法怎么样?
儿子说: 很好. 你再出一道这样的题吧
我说: 小于50,一直减3余1,一直减4余1.
这次作的时间比上次稍长了一点. 答案"13.25.37.49".
我犹豫了一下,还是提示他:你觉得这些数有什么规律?
儿子:没有
我问:上一题, 7,13,19,后面是多少?
儿子算了一下,终于发现上一题差6,这一题差12,
我又提示:为什么是6和12?
儿子想了一下:2和3最小公倍数是6,3和4最小公倍数是12.
我问:为什么是最小公倍数?
儿子:不知道.
我说:你去想想吧
儿子:不,你再出道题.
于是又出了一道减5余1和一直减4余1

总是一边提示,一边担心是否提示得太多,要是有小朋友一起讨论就好了

回复 #22 aochuanhui 的帖子

BBMM或者老师教，总是会担心，引导的是否合适啊，提示的是否太多啊，是否限制了孩子的思维啊。因为这种“教”，就像是在“拉”孩子走路，拉重了怕绳子断了，拉轻了又觉得不过瘾，还担心你拉的角度跟孩子的角度不一致，担心拧上了、、、
最有数学经验的老师，就像是大学教授去教小学生，也有同样的担心，尽管他们的数学很好，对孩子却不了解。而BBMM们呢，对孩子了解，数学却不够好。当然，如果是像虎妈这样的教授教自己的孩子，把握就大多了。但这、、、显然是不可能的。作为BB，俺想都不敢想。
而孩子之间的讨论，就避开了所有这些问题。这就是讨论的好处。