周末数学题 (新增 乘法计算，你看懂了吗？)

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四个城市分布在一个矩形的四个顶点A，B，C，D上。矩形的长宽分别是300公里和400公里。现要敷设电话线连接这四个城市。问怎样可以设计一个最短的路线？至少要比走两条对角线的1000公里要短。（显然线路总长越短，工程量越小，越是可以少花钱）

目的：把问题描述的更加清晰，引导研究者进入问题情景，激发进一步的思考

有同学提出第一个方案，如下图：

方案1：线路总长度为：400 + 300 + 400 ＝ 1100（公里）


方案2：公路的总长度为：300 + 400 + 300 ＝ 1000（公里）
显然这比方案1好，节约了 100公里。

有四年级同学提出来，两点之间，直线距离最短，于是提出了新的方案，如下图：


不好计算啊（同学们都没学过勾股定理）。但有没办法计算呢？可以，用画图测量的办法。但请同学们注意，由于画图测量存在一定的误差，所以，建议大家认真画图，多画一次多测量一次。最好是让会计算的同学，如BBMM计算以下，验证测量的结果是否正确。
方案3：线路总长度为：500 + 500 ＝ 1000（公里）
看起来，这种方案并不比方案2更节约。但是，这仍然是非常有价值的思想。因为它提出了两点：
1、两点之间，直线距离最短。
2、这是个线路最短问题。

小明的公司接到了一个工程，这个工程要求小明把正好处于矩形四个点上ABCD四个城市，用电话线链接起来。于是工程师小明按照上述的方案3进行了设计，即：

敷设线路的工程费用为10万元/公里。如果按照总长1000公里计算，共需花费1亿元。每个城市要平均负担2500万元。这可不是个小数目。于是，四个城市的公民有意见，不愿意把这个合同交给小明的公司做。他们希望有别的公司能设计出更好的方案使总长度更短。假如别的方案能省下10公里，就可以节约100万元，如果能省下50公里，就可以节约500万元。

参考资料：
摘自 http://blog.sina.com.cn/s/blog_518963960100d1j6.html
假设我们在北京、上海、西安三城市之间架设电话线，一种办法是分别联通北京--上海和北京--西安。另一种办法是选第四个点，假设郑州。由此分别向三城市架线，可能你不会想到第二种办法所用的电话线只是第一种办法的86.6%，即可取得比第一种办法节约13%的显著经济效益。这就是离散数学界30年代提出的著名的斯坦纳比问题，但一直未能得到证明。直到1967年大名鼎鼎的贝尔电话公司，遇上了一家精明的用户航空公司，竟被戳了一个大窟窿。这家用户要求在第四个点的位置上架上电话线。这样使得电话公司不仅要拉新线，增加服务网点，而且要减少收费。

非常好的思考题，能激发孩子研究生活中的数学的兴趣，谢谢！
请问ccpaging,  2楼的题目对于低年级的孩子来说也许一下子还无法理解题意，有没有更简单，更生动有趣的叙述方法？

有童鞋提出来了方案4，如下图：


方案4的总线路长度为 300 + 400 + 300 + 300 = 1300公里。
比上面的方案3整整长了300公里，童鞋们有什么办法把方案4改进以下吗？

这样的话，我们把原来曲里拐弯的一条线，改成了直线，显然，减少了总长度。
方案4的改进方案（我们称之为 Z 方案吧）的总线路长度为 300 + 500 + 300 = 1100 公里。
这比方案3（我们称之为 X 方案吧）的总长度还是多了 100 公里。

看来，同学们还要再多想想、、、

研究数学问题，听听老师讲，点点头，总是容易的。要参与讨论，还要自己动脑筋想，真是头疼啊！唉、、、索性放一放吧。我们来做个实验。
目的：尝试换一种角度研究敷设电话线问题
材料：A4纸 1 张，纸条若干
要点：
1）在 A4 纸 上画出6cm x 8cm 的长方形。
2）在长方形外，写上 “2cm 代表 100公里”，计算并写出 "1cm 代表  公里"
3）剪一些纸条，长度分别为 6cm、8cm、10cm，分别在纸条上写下所代表的公里数。
4）在 A4 的长方形中，用纸条分别摆出以上的方案1－4。

看看在摆弄纸条的过程中，有没有什么新的主意？

这题目已经相当奥了
我想了半天才想到小于1000的，好久没有运动脑子了，这个有如果平面几何概念强，我觉得比折纸容易想到

但是我没想到866的

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我和孩子都只能想到1000, 赶快公布下小于1000的办法吧

aochuanhui 发表于 2011-6-14 14:39
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我和孩子都只能想到1000, 赶快公布下小于1000的办法吧

有点小复杂
1.先画一条对角线，然后剩下两点做这个对角线的垂线，这样是980，点到线的最短距离是垂线。
2.想到这个还能更加短，先画对角线，然后四个点对对角线做垂线，然后把对角线去掉一点（没有图很难说清楚）自己想象一下，反正点到线的最短距离是到线的垂线。然后把交汇的点连起来，这个我没算过，不过应该<980，是不是866我不知道
3.把400中间对开，然后变成两个长方形，然后长方形画对角线，再把对角点连起来。这样是921

sour 发表于 2011-6-14 14:44
有点小复杂
1.先画一条对角线，然后剩下两点做这个对角线的垂线，这样是980，点到线的最短距离是垂线。
2.想到这个还能更加短，先画对角线，然后四个点对对角线做垂线，然后把对角线去掉一点（没有图很难说清楚）自己想象一下，反正点到线的最短距离是到线的垂线。然后把交汇的点连起来，这个我没算过，不过应该

第二种方法应该已经是初中几何了，你先画对角，然后找出费马点...
费马点是指在三角形所在的平面内,到三角形三个顶点的距离的和最小的点. (1).三内角皆小於120°的三角形ABC的费马点，分别以 AB,BC,CA，为边，向三角形外侧做正三角形ABC1,ACB1,BCA1,然后连接AA1,BB1,CC1,则三线交于一点P,则点P就是所求的费马点. (2).若三角形有一内角大于或等于120度,则此角的顶点就是所求.


这样看起来866是可能的....这个小学生估计找不出来....

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ccpaging 发表于 2011-6-14 15:36
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我图片看不到，这个866我是找不到了....

回复 #12 sour 的帖子

太厉害了!
第1个方法易懂
第二个方法我还没搞懂,估计小学生也不容易搞懂...

最短的路线约等于919.6公里。

五个小动物合买了一包糖放在学校里，约好第二天早上平分。
贪心的A半夜起来把糖平分5堆，多余一个给门卫，把自己的一份藏起后睡觉去了。
之后B也起床，和A作一样的事：平分5份，多余一个给门卫，自己藏一份。
接着CDE也相继起床做了同样的事。天明他们把剩下的分成5整份，然后平分。
问包里有多少课糖（求最小值）？

未做实验，眼见为实。

数字推理题：将1-9分别填入圆圈中，使得每一条直线上的数相加的和都相等，每个圈只有一个数字，每个数字用且仅可用一次。   

将0-9填入圈圈中（每个圈仅含一个数字，每个数字只能使用一次），使得每一条直线上的数相加的和都等于13。（摘自U.S PC2009)

将1-9填入圈圈中（每个圈仅含一个数字，每个数字只能使用一次），使得三角形每一条边均满足等式。

将1-9填入空白方块中（每个方块仅含一个数字，每个数字只能使用一次），灰色的数字表示其周围4格处于上方两格之和与下方两格之和的差的绝对值，例如10=|(a+b)-(d+e)|，题目中7的位置已经给了。（07年一个谜题赛上的题目）