小学奥数中的毒瘤（抽屉原理应不应该学？）

目录，留空

土豆：一个半径为1M的圆，其圆周上有N个点，且其中至少有两点相距少于1M。试求N的最小值。
玫瑰：这题是什么意思啊? 题目也看不懂啊。
土豆：要用到抽屉原理、、、这些题，至少需要正常同学初中和高中的数学知识。能考出来的，应该是经过有针对性的培训。
玫瑰：抽屉原理是什么? 那个题是什么意思啊?什么叫n的最小值是几啊? 它不是说最少有2个吗? 土豆：抽屉原理在上海三年级教科书的数学广场里边有。但我觉得，要真正的理解和掌握抽屉原理的意义，应该是在学习了几何以后。而这道题，已经是抽屉原理的应用了。
玫瑰：抽屉原理有的很难的，看着就头疼。能进一步讲讲不? 土豆：你是不是觉得，根本就不知所云？
玫瑰：我题目也没看懂，更加都不知道要我们做什么。
土豆：对，就是这感觉，不知所云。其实，抽屉原理在实际的生活场景中是有的，但像这种题，已经是抽屉原理的高阶应用。
玫瑰：能不能用我能听得懂的话简单说说? 土豆：打个比方吧。电影院的经理，去电影院里边走了一圈，回来就说，“今天爆满”。有人问：“为什么？你怎么看出来的？”他说，因为有人找不到空座，立在边上看。也就是说，如果这个小电影院的座位是100个，那么，至少有101人在看电影，这个说法对吗？
玫瑰：这个说法好象没什么问题吧。
土豆：好，那再换一个例子。有二个抽屉，三个苹果，无论你怎么放，至少有一个抽屉里边有两个苹果。
玫瑰：对的，这个我能懂。
土豆：注意啊，难度增加了。如果有四个自然数，其中必有两个数，他们的差是3的倍数。
玫瑰：抽屉原理在四五年级一直要弄得，很难。
土豆：也就奥数弄，正规学习不用弄的。
玫瑰：学校的题目好像没有这么难的吧。那四个自然数是怎么回事？
土豆：任意四个互不相同的自然数，其中必有两个数，他们的差是3的倍数。
玫瑰：吃不准了，好像是的。
土豆：能说出道理来吗？
玫瑰：我还正想问呢，怎么证明啊？
土豆：先不急着证明。要是我一上来就出这样的题，“任意N个互不相同的自然数，其中必有两个数，他们的差是3的倍数，请问N最小是几？”是不是可能不知所云？
玫瑰：哦，还是有一点点明白的。如果是三个数，一个比一个多1，那么就不可能有两个的差是3，要再多一个数。
土豆：对，但这还不是道理，仅仅是一个特例而已。
玫瑰：那怎么办？
土豆：我们已经知道了抽屉原理，可以先依葫芦画瓢。但这样做，可能碰到些麻烦，1）这道题中有无限的概念，2）没找到“抽屉”。
玫瑰：还没完全能把这个套上，虽然有一点点概念了,但觉得还用不上。
土豆：嗯。
玫瑰：我想想、、、除以3的余数做抽屉，0、1、2共3个抽屉？
土豆：我来画画看，是不是这样？

玫瑰：对，我就是这么想的。
土豆：这样，我们就把无数个“苹果”，分成了三类。注意哦，这里用了集合的概念。
玫瑰：然后呢?
土豆：这是不是印证了抽屉原理，任意四个互不相同的自然数中每一个，必然可以放在其中的一个抽屉里边，那么，至少在一个抽屉里边有两个自然数。
玫瑰：哦
土豆：用电影院经理的话说，爆满了。
玫瑰：我再看看，你的意思是它们的差是3的倍数了，因为在同一个圈里嘛。
土豆：这是同余定理，或者说同余定理的应用、推论，对不？
玫瑰：很不好意思地说，我不知道什么叫同余定理。依稀记得奥数老师讲过，“除以同一个数，余数相同”。
土豆：（(a/3)的余数 + (b/3)的余数）/3的余数 ＝ （a＋b）/3的余数
          简化后，可以表示成
          余(a) + 余(b) = 余(a+b)
玫瑰：这道题看起来简单，真正做起来这么复杂啊？
土豆：解题中，运用了无限集合＋抽屉原理＋同余定理。无限集合，这个还好说，我们从小就没有讳言它。但我相信，不是每个同学，都能理解到这个程度。抽屉原理，也就是三年级的数学广场上露了一面，同学不知所云，老师也不知道怎么教。个人认为，抽屉原理涉及很复杂的逻辑表述，最好放在几何以后去学习。而同余定理，是初等数论的内容，是大学数学系的高年级专业课程。
玫瑰：这么说我不懂也不算很丢脸了啊。
土豆：看起来简单，要理解到相当的程度，需要有一系列的数学基础。
玫瑰：都说看起来也不简单啰。
土豆：我原来也不懂的，应用数学系没学过初等数论的，那是理论数学才学的。
玫瑰：那刚才那题呢？“一个半径为1M的圆，其圆周上有N个点，且其中至少有两点相距少于1M。试求N的最小值。”是不是分成6个部分？
土豆：再找抽屉和苹果呗。
玫瑰：6个抽屉？得要7只苹果？
土豆：嘿嘿，其实我也没想好。
玫瑰：我刚才是看也没看懂,题目里不是说至少2个吗?那为什么不能答2啊?
土豆：哪6个抽屉？
玫瑰：半径是1，对吧？边上的点要求相距少于1？
土豆：嗯
玫瑰：那么，就相当画出了个等边三角形，一共能画6个，对吧？那么得要7个苹果
土豆：怎么样的6个三角形？
玫瑰：画个图先，我是这样想的,圆周就被分成了6份

土豆：嘿嘿，明明是正六边形嘛
玫瑰：明明是6个三角形嘛！
土豆：好吧，将就您的说法。
玫瑰：可是我不懂,为什么我不能就摆两个点,就把它们放同一个格里呢？可是它又没说"不管怎么排"
土豆：不管怎么说，圆周上无穷个点被6个点分成了6份，那么，你试试把题目改一改呢？
玫瑰：应该加上，不管怎么摆，其中两点的距离少于1。
土豆：有N个不同的点，不管怎么摆，都能保证其中两点的距离少于1。
玫瑰：这样就对了。
土豆：这说明啥呢？
玫瑰：什么意思？
土豆：我觉得，出题的老师，没真正搞明白，或者说，他心里知道，却无法表述出来，又或者说，他表述出来了，童鞋们看不懂、、、
玫瑰：难怪我看到题目时，心里总想为什么不能写2呢?
土豆：但是，你现在学过类似的题了，是不是觉得，老师的问题不管怎么表述，你都明白的？
玫瑰：嗯,学过以后，感觉这题也没有原来觉得那么变态了。
土豆：那是因为，你心里已经有那些模式了
玫瑰：好象是的。
土豆：但我觉得，这就是在作弊，你说呢？
玫瑰：但那个题目，我始终觉得表述有问题。如果不是有针对性的练,那么看到题目仍是如同看天书啊。
土豆：对啊。所谓练，其实就是灌输，而不是Education，即Bring out。
玫瑰：因为它从孩子已有的知识是无法推导出来的，小朋友没办法用上现在学的东西来思考。
土豆：天外飞仙啊。三个知识点，跟现在的小四生都相去甚远。除了跳过，玩天外飞仙，根本没办法
玫瑰：首先，我家小四生就不可能知道要画正六边形，头一关就过不去了。
土豆：切，你画六边形，不也是想到了要找抽屉嘛，不跟你说抽屉，你想得到哇？
玫瑰：哦,这个我倒是原来就想到画，因为它说了两次1嘛。也画了草图，但画了不知道干什么用。
土豆：其实，我看到这道题，也晕了好一会。只是觉得，这种表述似曾相识，才联想到抽屉原理。
玫瑰：一直纠结与它不是说最少2个点吗？为什么不能写2呢？
土豆：俺换个说法，不跟你说抽屉原理，无论怎么写，你都很难去理解它的，要不，找个人试试？
玫瑰：不用试了，你说了我没懂，你要不是画了那三个圈圈，我也理解不了抽屉原理。我家小四生肯定一头雾水。你怎么不找自己孩子试试看呢？
土豆：揠苗助长啊。不说找小四生了，孩子他爸就玩不下去。只要是没学过奥数，又不是专业数学系的，可能基本都没戏。
玫瑰：孩子他爸他对不会做的数学题一律斥之为无聊。
土豆：这话朴素，其实有道理。
玫瑰：他原来是学理科的,数学挺好的,高考数学满分,但奥数不会。
土豆：我理解，所谓不会做，是指我努力了但还是不会做，这就说明，这个题跟我现在的水平相去甚远，通过别人传授，就像刚才那样教，就算会做了，还是不会用的，也就是说，学了等于没学。
玫瑰：有点道理啊。要考小学生，还不如直接说有六个抽屉,让你放苹果,你得要多少个苹果,才能保证不管怎么放都有一个抽屉里有两个?
土豆：那就不是奥数水平了。
玫瑰：这是我的水平。
土豆：如果我是数学老师，基本上，要是孩子提不出抽屉原理这四个字，也就不用讲了，讲了也白讲，徒增烦恼。

回复 #5 jiangying 的帖子

语言描述超出了小学生的语文程度
原理1 把多于n个的物体放到n个抽屉里，则至少有一个抽屉里有2个或2个以上的物体。

有人问，你凭什么说小学生看不懂这段文字？我的方法很简单，如果小学生在生活中不用某些单词，那么就说明他不能理解和接受这些单词。
这句话里边有两组词，小学生一般不用的，“至少有一个”、“有X个或X个以上”。后一个词组是“大于等于”，小学生没学不等式，至少5年级以前不学。
这些词几乎是数学的专业词汇。在几何里边会大量用到。所以，抽屉原理需要几何学习作为铺垫。

抽屉原理需要集合知识
集合的概念在小学生的教科书中有，生活中也有。但奥数里边的抽屉原理普遍是无限集合。而按教科书要求，二年级小学生只要掌握20以内的数，三年级才掌握到100，四年级可能会上千上万。在这，“掌握”是指平时运算中使用的数的大小。教科书的这种安排跟小学生的生活实践是匹配的，他们在相应的年级所关心的问题，基本就在这个范围了。无限大、无限小，提一提，扩展点知识，这无所谓。要灵活运用的话，离同学的生活实践太远了。

其实，在实际工作中，也很少用到抽屉原理。真要用到了，分分钟就看明白了。

总的说来，学了很难懂，懂了也没用，不学也罢。对于数论，以上分析同样适用。

jiangying 发表于 2011-6-2 10:58
回复 #6 ccpaging 的帖子

以教科书来决定孩子学习的内容是可笑的。我国多年来功利地以教科书学习的结果是国民普遍没有科学素养。

根据什么来决定教科书的内容，即哪些应该学，哪些应不应该学？
根据什么来决定教科书的教学顺序，即哪些此时学，哪些彼时学？

一年级 认识数学 认识数字 大小比较 加减学习与认识 物体的认识

二年级 简单的加减乘法四则混合运算 认识大数 基本的生活应用(轻重，东南西北) 认识简单的几何图形(角、长方形、正方形、轴对称)

三年级 进一步学习多位数乘除法 认识分数 图形周长面积的求法及应用 圆角分、 重量长度用小数表示

四年级 应用题的一些分类学习 四则运算定律 线、角的初步知识 小数的认识及性质小数的应用 方程的初步认识(用字母表示数等式方程 应用题) 正数负数的初步认识及应用

五年级 小数乘除法 列方程解应用题 平面图形 立体图形 体积及表面积 约数和倍数 分数的加法和减法 简单的统计

注：
小学老师曾经问过同学们：“什么是数学？”Alex回答：“路上有数学，家里有数学，身上也有数学，到处都有数学。”对这个回答，我很满意。

http://www.klxuexi.com/News/53/0/2/40172.htm
2010-11-19 11:00:28
来源:解放日报 T|T字号:
　　“牛吃草，草在长，相对速度是多少？”面对这道小学四年级的数学题，相信不少学生和家长都会感觉，如今的小学数学真难。但在日前首次在沪召开的中国教育学会小学数学教学专业委员会年会上，全国各地的专家表示，上海的小学数学从教材要求来说难度并不高，但由于教学、作业、考试“超载”，才显得“那么难”。

　　课程标准，上海＜全国

　　不少家长感觉如今的数学教材中，复杂的应用题、绕着弯的思维训练等很多，难度远比自己当年读书时大。上海市教委教研室小学数学教研员姚剑强却认为，事实正好相反，教材难度“不升反降”。

　　纵向来看，本市当前使用的二期课改数学教材，基本内容比一期课改时有所减少。如“数的整除”，原本放在小学五年级，但由于概念比较多，现已推迟到初中预备年级再学。横向比较，上海版一至三年级的数学教学内容，比全国版少16个课时，部分学习内容也比全国版学得晚。如统计概率知识点，“全国版”教材将“平均数”概念放在小学三年级，而上海版则推迟到五年级。“无论从课程标准，还是从教材难度来看，上海的小学数学，都不算难。”姚剑强说。

　　数学思维≠“脑筋急转弯

　　那小学数学难的感觉从何而来呢？老师和专家分析，难在两方面：一是把教材中供学有余力的同学拓展的高层次内容，“扩散”到所有同学，无形中提高了教学要求。二是奥数“普及”，渗透到课内外，造成“超载”。

　　家长徐女士说，她小学四年级的儿子的数学作业，经常把本科生、硕士生家长难倒。比如三年级时曾有一道题：“在啤酒节上，每买3瓶啤酒，会免费换赠1瓶。小强共买了30瓶，最后拿到多少瓶啤酒？”这道题，其实是个连环套：30瓶共获赠10瓶；这10瓶，每3瓶还可以再获赠1瓶，共3瓶；这3瓶，还可再赠1瓶；最终的答案是30+10+3+1=44瓶。这种原本只供少数优秀同学的“余兴”题，变成了普遍要求，家长不禁感叹：“脑筋急转弯，成人都想不出，孩子怎么办？”

　　“用‘脑筋急转弯’训练数学思维，是一种误区。”市中小学数学教学专业委员会副理事长、数学特级老师曹培英认为，小学数学教育，应该像把水倒进沙子，自然渗透数学理念、培养思维，而不要拔高，为难学生。培养数学思维，老师还可放手让学生自己探究。本次年会上，一师附小徐蔚老师为三年级学生上了一堂《比较快慢》的公开课，不急于告诉结论，让学生自由讨论，自行摸索出不等式传递、传递的逆反性等数学规律。“数学思维训练，一定要水到渠成。”

　　考试＝“条件反射”？

　　把相对不难的教材 “教得难”，根本原因在于考试难。不少老师说，中考、高考的数学都是关键，应试压力难免传递到小学，这也反映在考题上。

　　据了解，目前小学数学考试的内容，主要有计算的熟练程度、对数学概念的理解和综合应用等几方面。前两者主要靠机械操练得分，训练“条件反射”；后者多要靠奥数技巧来化解。于是，一方面学生为了搏基础分，搞题海战术，把数学变成“单位时间内计算能力”的训练；另一方面，为了搏最后两道“大题”，花费大量时间课外加学“奥数”。

　　“应当从知识技能、理解概念、运用规则、解决问题等诸方面，建立多元开放式的考试体系，让学生从‘题海’中解脱。”一师附小教师曹志霞对比了中外小学数学考试的不同模式后建议。上海实验小学徐颖老师更进一步，展示了数学考试变身 “游园嘉年华”的新尝试，让学生在生活情境中体验运用数学知识的乐趣，减轻对考试的心理负担。

回复 #19 aochuanhui 的帖子

本来想把原来看到的张政的资料搜集起来，无意发现萧愚之《当神童走向成年》。
http://blog.sina.com.cn/s/blog_476e6cfa01000542.html

不妨看看

ccpaging 发表于 2011-6-2 11:29
根据什么来决定教科书的内容，即哪些应该学，哪些应不应该学？
根据什么来决定教科书的教学顺序，即哪些此时学，哪些彼时学？

同意 @jiangying ，“应该回答这个问题的人不是家长，而是搞教育和搞数学的专家。”
那么，俺换一个问题：

在亲子数学中，根据什么来决定哪些应该学，哪些不应该学？又根据什么来决定哪些先学，哪些后学？

回复 #22 jiangying 的帖子

例如，单位，面积，速度，加速度等。

长度就是比较两条线的长短。
面积就是比较两张纸的大小。
体积就是比较两个杯子中哪个能装更多的牛奶。

速度就是比较两个人谁走得快。
加速度是看谁能在更短的时间内加速或者减速。

基本概念都在生活中有实际意义。不是先有概念再有生活，而是先有生活，才有了概念。要学习基本概念，要从生活中积累体验开始。

等式、不等式就是跷跷板、天枰。
几何就是点线面的关系，就是折纸。

几乎所有基础的数学问题都是有生活中的来路。人们研究这些问题是出于生活中的实际需要。

回复 #31 aochuanhui 的帖子

例如吃皮萨，俺把边切下来给你，你吃长的，俺吃中间那块短的，好哇？

aochuanhui 没有区分线、面、体，jiangying 说要以孩子为学习的主体，mzhehome 纠结于抽屉原理，茉莉清茶 讲要从基本的几何概念出发、、、
窃以为都是一个问题，基本概念要从哪里教起的问题。传统的教育要老师讲，同学们听，就普及教育或者底线教育来说，尚有可行之处。因为普及教育教的慢，等教到那儿的时候，同学们或早或迟，都有过足够的体验打底了，例如：
分过饼，为你多我少的问题争吵过了。
注意过不同的几何图形，有小小的审美观，注意到对称与非对称。
跟别的孩子比过高矮。
跟别的孩子比赛过赛跑。据说，男孩子在奔跑中有快感。
女孩子可能还会注意到自己胖瘦、体重。
有的男孩子还喜欢爬高，把敢跳作为一种自豪。相信这样的孩子对加速度是有体验的。

这些体验就像肥沃的土壤，经老师一点，立刻就长出了数学的小苗。

如果没有这些体验或者体验不足，即是同样的老师、同样的同学、同样的教法，就像是在沙漠里面种树，虽也可能成功，但绝对要费力的多。

怎么来判断孩子是否有足够的体验呢？其实大人没有处在孩子的角度，很难知道的。有一种比较保险的做法，那就是等孩子来问，只要他问了，就说明他准备好了。当然，在他问之前，如果BBMM有兴趣、有能力、有空闲，是可以营造较好的问题情景来刺激他发问。

pupil 发表于 2011-6-4 21:03
回复 #36 mzhehome 的帖子

哈哈，那说明这些老师知识结构不完整。

终于引出“玉”来了！正好有许多问题，待俺一一请教。

1、德国数学家狄利克雷碰到什么实际问题引发了他对抽屉原理的兴趣？抽屉原理解决了那些实际问题吗？
2、抽屉原理在知识结构上是哪一层的？在它下面需要学习哪些数学基础知识？
3、小学生问，为神马要研究抽屉原理，您准备如何回答？

mzhehome 发表于 2011-6-5 15:12
回复 #42 pupil 的帖子

组合数学在计算机硕士课程里面只是一门选修课,并不是所有的研究生都要上组合数学的,我从来痛恨奥数,这玩意对于95%的小孩来说是没有用的,只不过是个敲门砖罢了,敲好了就没用了.

要不俺们也斗胆说说剩下的那 5%？

剩下的5%，暂且称之为天才吧，10岁左右。他们，由谁、在何时，学习研究抽屉原理所需要的那些基础，例如，数理逻辑体系（这是通过研习几何来建立的），排列组合，集合论特别是无穷集合，初等数论。而且，这些基础不是三言两语带过，还要精通到相当的层次。

回复 #49 mzhehome 的帖子

听过几堂奥数课。所谓奥数老师跟学校的数学老师一样，都是以灌输的为多。不同的在于，学校的数学老师讲的东西受教科书限制，通常来说，学生们有生活体验的基础，大多数同学都能理解和接受。而奥数老师讲的简直就是天马行空，完全不管同学的生活体验，同学们只能机械地记住，依葫芦画瓢。
以我观察，上那那几堂奥数课的小学四年级同学，最好的孩子最多也就能听懂10％。纯粹是浪费时间。

回复 #54 aochuanhui 的帖子

天马行空的想象可以有。
但教育有一个原则，即先立而后破。而且，这个“立”还应该“立”于生活。